三角函数平移与直线交点

第一步：写出平移后的函数。

把 $y=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的图象向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位，规律是"左加右减"——把式子里的 $x$ 换成 $x+\dfrac{\pi}{6}$：

$$f(x) = \cos\left[2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}\right] = \cos\left(2x+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)$$

用诱导公式 $\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta$，得

$$f(x) = -\sin 2x$$

第二步：把交点问题变成求根问题。

交点满足 $f(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}$，即

$$-\sin 2x = \frac{x}{2}-\frac{1}{2}$$

两边乘 $-1$ 并移项，设

$$g(x) = \sin 2x + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$$

问题归结为：方程 $g(x)=0$ 有几个实根。

第三步：先判断 $x$ 的范围，把无限区间砍成有限区间。

当 $x<0$ 时：$\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2} < -\dfrac{1}{2}$，而 $\sin 2x \ge -1$，所以

$$g(x) \le -1 + \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} < 0$$

$x<0$ 时 $g$ 恒负，一个根都没有。

当 $x$ 足够大时，线性项 $\dfrac{x}{2}$ 会占主导：要使 $g(x) \le 0$，至少需要 $\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2} \le 1$，即 $x \le 3$。所以

$$\boxed{\text{只需在 } (0,\,3]\text{ 上找根}}$$

这一步是整道题的关键——先用不等式把区间夹住，再动手算，否则面对整个实数轴无从下手。

第四步：在 $(0,3]$ 上数变号。

$$g(0) = 0 + 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} < 0$$ $$g(1) = \sin 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \sin 2 \approx 0.909 > 0$$

所以在 $(0,1)$ 内至少有一个根。

继续往后看：

$$g(2) = \sin 4 + 1 - \frac{1}{2} \approx -0.757 + 0.5 = -0.257 < 0$$

$g(1)>0$ 而 $g(2)<0$，所以在 $(1,2)$ 内又有一个根。

再往后：

$$g(\pi) = \sin 2\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \approx 0 + 1.571 - 0.5 = 1.071 > 0$$

$g(2)<0$ 而 $g(\pi)>0$，所以在 $(2,\pi)$ 内还有一个根。

至此在 $(0,3]$ 上已经找到 3 处变号，对应 3 个根。

第五步：确认没有更多。

$g'(x) = 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}$。令 $g'(x)=0$ 得 $\cos 2x = -\dfrac{1}{4}$，其解为

$$x = \pm\frac{1}{2}\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + k\pi \approx \pm 0.9117 + k\pi$$

在 $(0,3]$ 内，极值点依次约为 $0.9117$、$2.2299$、$4.0533$（最后一个超出区间）。

• $(0,\,0.9117)$ 上 $g'$ 恒正、$g$ 递增，因此最多 1 个根——已找到 1 个；
• $(0.9117,\,2.2299)$ 上 $g$ 先减后增、在 $(1,2)$ 穿过零一次；
• $(2.2299,\,3]$ 上 $g$ 递增，且 $g(2.2299) < g(2) < 0$、$g(3)>0$，恰好 1 个根。

每个单调段至多一个零点，合起来恰为 3 个。

答案

选 C。交点个数为 $3$。

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一句话总结：数交点个数先"夹区间"（本题夹到 $(0,3]$），再用单调段分段数零点——每个单调段至多一根；切忌只取两三个点就断言"之后恒正"，$\sin 2x$ 在 $x>1$ 仍会取到负值。