正方体对角线与球半径

正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$，$AB=4$。$O$ 为 $AC_1$ 中点（体对角线中点，即正方体中心）。

体对角线 $AC_1=4\sqrt{3}$。$O$ 到各顶点距离 $=2\sqrt{3}$。

球 $O$ 与正方体的棱有公共点 $\Leftrightarrow$ 球半径 $r\geq d(O,\text{棱})$（$O$ 到最近棱的距离）。

$O$ 是正方体中心。$O$ 到棱的距离：

棱 $AB$（过 $A$）：$O$ 到 $AB$ 的距离。$A=(0,0,0)$，$B=(4,0,0)$，$O=(2,2,2)$。

$d(O,AB)=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$（$O$ 在 $AB$ 延长线方向的最近点为 $(2,0,0)$，距离 $\sqrt{0+4+4}=2\sqrt{2}$）。

$O$ 到所有棱的距离均为 $2\sqrt{2}$（由对称性）。

球与棱有公共点需 $r\geq 2\sqrt{2}$。

球不超出正方体需 $r\leq 2\sqrt{3}$（到顶点距离）。

答案

球 $O$ 的半径范围为 $[2\sqrt{2},2\sqrt{3}]$。