第9讲 358 年 —— 一道题怎么被交给下一个人

前五讲都是"人"的故事：等不到读者的、空间小的、多产的。这一讲换一种叙事：从一道题出发，而不是从一个人出发。

一道题被交给下一个人，需要几个条件？这一讲讲四个。这四个条件不属于数学史，属于任何一件需要别人接手的事。

欧几里得：规矩不靠人，靠推导

公元前三百年，亚历山大港。欧几里得写出《几何原本》十三卷。

这本书最大的发明不是勾股定理，不是圆周率估算，而是"公理化"。 从五条公设和五条公理出发，一步步推出全部几何定理。每一个结论都有来源——要么是公设，要么是前面证过的定理。

这个"有来源"的要求，是数学成为公共财产的前提。 如果一条结论只能靠"我相信"来成立，那别人就没法接手；如果每一步都有依据，别人就可以从任何一步开始检验。

第五公设的特殊待遇最能说明这件事。 它看起来比其他公设复杂得多，两千年来无数人试图从其他四条推出它，都没成功。最终黎曼 1854 年在就职演说里指出：第五公设不是定理，是一个选择。 你可以选择不接受它，得到一个"非欧几何"的世界。

希尔伯特 1899 年才补上《几何原本》的公理化漏洞。 这说明即使是一部"公理化奠基之作"，也可能有隐含假设。欧几里得自己没发现，后人补上了。这就是"规矩不靠人"的含义——规矩是死的，人可以犯错，规矩可以修补。

费马：一句没留证明的话

皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat，1607—1665）是法国图卢兹的法官，数学是业余爱好。

1637 年前后，他在丢番图《算术》拉丁译本的页边上写下这样一句话：

"立方数之和不能表为两立方数之和，四次方数之和不能表为两四次方数之和，一般地，高于二次的幂都不能表为两个同次幂之和。我发现了一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下。"

原文是拉丁文："Cubum autem in duos cubos, aut quadr quadratum in duo quadrata, feu generaliter exponentis n>2 potestatem in duas similis exponentis res cubes, dividri impossibiles est quod rei mirabile corporis detexi nec in margine capax est."

这句话流传了三百五十八年。 费马留下这句注释后便去世，没有进一步说明。他死后 1670 年，其子整理出版父亲的书稿，这条注释才公之于众。

数学史界的共识是：费马那个"出色的证明"几乎肯定是错的。 他可能对 $n=4$ 的情形有有效论证（他用无穷递降法证明了 $n=4$），但对一般情形的那个"证明"，几乎可以断定不存在。

这里要区分"省略"和"错误"两种情况。 "页边太窄"暗示"证明存在，只是写不下"；但真实情况很可能是"证明不存在"。一个是省略，一个是错误，两者对后来的人意义完全相反。 前者让人期待找到证明，后者让人意识到需要从头建构。

费马还有一个习惯值得注意：他只给结论，把证明留给别人。 这在 17 世纪的数学家圈子里是通行做法——他们互相挑战，说"我证出了 X"，然后看谁能给出证明。但代价是，后人要为这三句话分别付出零、一章、三百多年的代价。

三个"费马"别混：

• 费马小定理：若 $p$ 为素数且 $a$ 不被 $p$ 整除，则 $a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$。出自 1640 年 10 月 18 日致 Frénicle 的信，费马没给证明，欧拉 1736 年首个公开发表证明。这门课你可能在信息技术课上学到——它是 RSA 加密的数学地基。
• 费马引理：可导函数若在区间内部取到极值，该点导数为零。必修第一册求导那一章的常客。注意它只是必要条件——导数为零的点未必是极值，学生在这里扣分最多。
• 费马大定理：本讲的题目。

三者共同点：都不带证明。 这不仅是费马的习惯，也是那个时代数学交流的方式——数学家之间互相挑战，看谁先给出证明。但这种习惯的代价是，后人要为这些"没证明的断言"反复付出劳动。

中间那三百多年怎么过的

一道题要能被下一个人接住，得有把它当成公共财产的人。这三百多年的接法，值得整段列出来。

欧拉 1770 年证明了 $n=3$；索菲·热尔曼 1823 年处理了一大类情形；狄利克雷与勒让德 1825 年解决 $n=5$；拉梅 1839 年解决 $n=7$。 每一次用的还是同一种思路：递降、分解、无穷迭代。到 $n=7$ 已经繁到几乎无法往下写。

然后轮到库默尔。 1847 年前后，他发现这套思路之所以走不通，是因为在该用的数域里唯一分解不成立了。他引入"理想数"把唯一分解补回来，证明了"费马大定理对一切正则素数成立"。37、59、67 这三个非正则素数卡住了。

接下来是法尔廷斯。 1983 年他证明了莫德尔猜想，得到强得多的结论：对每个 $n>2$，方程的正整数解至多只有有限多组。注意，"有限多"不等于"没有"——这是三年级学生都能分清、但大学生常在这里含糊的两个词。

真正把两道不相干的猜想接起来的是里贝特。 1986 年他证明：假定 $a^p+b^p=c^p$ 有一组解，那么由这组数可以造出一条椭圆曲线：

这条曲线会是"坏的"——坏到不可能同时是模形式的，而这与谷山—志村猜想矛盾。费马大定理从此变成了另一个问题的推论。 就好像你要证明一扇门打不开，结果发现它通向的房间根本不存在。

最后一棒是怀尔斯。 1993 年 6 月 23 日，他在剑桥牛顿研究院讲了三场报告，最后一场结束时宣布证出了谷山—志村猜想的一个关键特例，费马大定理随之成立。稿子送去审，1993 年 9 月被发现有一处错误，他花了将近一年没补上。1994 年 9 月 19 日，他与从前的学生泰勒一起找到了绕开那个洞的办法。1995 年 5 月，《数学年刊》以整期篇幅发表了两篇论文，一共 129 页。

"358 年"这个数有两个算法： 从 1637 年算到 1995 年正式发表是 358 年；算到 1993 年宣布是 356 年。这四年差在哪里，恰好就是本讲的主题：宣布和完成之间，还隔着"能不能被别人检验"这一道。

中间还该提一笔"奖金"这条线，因为它把"公共财产"四个字变得可量化。1908 年 6 月 27 日，哥廷根科学院宣布设一笔奖金征集这个证明，本金 10 万马克，来自一位医生的遗赠。第一年，科学院收到 621 份自称证明了的稿子。 到 1997 年 6 月 27 日，奖金颁给怀尔斯时只剩 7 万多马克——一审就是几十年。一道题一旦成为公共财产，它同时也会成为公共信箱。

韦达：另一条交接，交的是语言

358 年这条线上还有一个必须提的人——韦达（François Viète，1540—1603），法国法官。

他的位置不在内容，在语言。《分析艺术入门》（1591 年）里，他系统性地用字母表示量：用元音代表未知量，辅音代表已知量。 （把今天的习惯——用字母表后段的字母表示未知量——定下来的是笛卡尔，那是几十年后的事。）

它把"算这个题"变成了"算这一类题"。 韦达的另一部书《论方程的识别与订正》在他去世后才出版（1615 年），里面有了今天课本里叫"韦达定理"的关系：

韦达定理在人教版必修第一册就能学到。它在这个故事里的位置还有一层：它是"交接"在语言层面的那一步。 一道题能不能被交给下一个人，先看它能不能被写成一类题；写不成一类的题，只能留在出题的人的脑子里。

顺便说一个学生几乎一定用过的恒等式：

它就是"和与积"的语言写出来的。韦达定理真正发力的地方，在于你有一个 $x^3+y^3$ 时，眼睛里看到的不再是两个立方，而是 $x+y$ 与 $xy$ 两个数。

指数可约化：把大问题变小

费马大定理对 $n=4$ 的证明，用的是"无穷递降法"。这个方法本身可以简化为一个引理：

如果费马大定理对某个指数 $p$ 成立，那么对所有 $p$ 的倍数 $np$ 也成立。

推导很简单：

也就是说，只要证出了素数指数 $p$，指数 $p$ 的倍数就自动跟着成立。 所以 $n=4$ 证完之后，剩下要处理的只有奇素数。这就是"证了一个小情形"的真实位置——它把问题变小了，但它不等于解决。

别把这段讲成"费马撒谎"。他有资格说这种话——他留下的正确断言数量惊人。问题出在"页边太窄"这个说法本身：它暗示"证明存在，只是省略了"，而真实情况很可能是"证明不存在"。一个是省略，一个是错误，两者对后来的人意义完全相反。

一道题被交下来的四个条件

把这条三百多年的线收拢，能提炼出四条。

第一，它必须能被写下来。 韦达那一节讲的就是这个。一个没法写成一类问题的题，只能靠下一个人重新发明一遍才能开始。

第二，它必须能被检验。 欧几里得那一节讲的是这个。规矩不靠人，靠推导，所以"我还没证完"才能说出口而不丢人。1993 年到 1995 年那四年的意义也在这里：不能检验的宣布，不算完成。

第三，中间人必须被允许停下。 库默尔把理想数留下来了，虽然那对付费马大定理不够；法尔廷斯给了"有限多"而不是"没有"，后人照样能用。没有人要求中间人解决问题，他们只被要求把工具留下。 这是这三百年真正走下来的方式。

第四，接手的人可以完全重来。 从第七个素数往后，同一套思路就走不动了；里贝特那一步是把题换成另一道题；怀尔斯用的工具，全都不在费马时代的工具箱里。交接不等于传棒，很多时候是换赛道。

讲给学生听时，讲什么

第一，把"流传版"和"可证版"分开讲一次。 学生听过的版本是"他说有证明，只是页边太窄"。值得把这句话拆开：哪里是史实（确实写了这句话，确实没留证明），哪里是后人的理解（他有一个正确的证明）。这件事可以做成一个小练习：让学生判断"页边太窄"这句话该不该被相信，自己列证据，最后对照今天数学史界的结论。 一次这样的练习比十遍"要严谨"有用。

第二，不要把"358 年"讲成苦战。 如果讲成"一个人苦思三百年"，学生得到的结论是"我做不到"，因为三百年太长了。实际发生的是：欧拉走一段、库默尔走一段、里贝特换一条路、怀尔斯兜底——中间没人打算一次解决，每个人都在解决自己那一段。 讲这一讲的重点应该是：没人解决整道题，但题目一直在被推动。

第三，用 $n=4$ 讲一次"小情形"的位置。 上面那个"指数可约化"的推导，高中生完全能跟上，而且它一举两用：一是讲清为什么只需处理奇素数，二是让学生体会"部分进展"怎么缩短问题。配着这道题，把 $n=2$（勾股数，有无穷多组）、$n=4$（无解）对照着写在黑板上，学生立刻明白"指数升高一点，事情会变成什么样"。

第四，把韦达定理的重量讲出来。 学生刚学韦达定理时往往觉得它只是小道具。可以在黑板上写一道题：已知 $x+y=5$、$xy=3$，不求出 $x$、$y$，直接算 $x^2+y^2$、$x^3+y^3$。算完再告诉他们：你们刚才干的，就是用"一类题的共性"绕开了"一个题的个性"——这正是 1591 年发生的事。

一句话总结

一道题能被交给下一个人，靠的不是它难，是它写得下来、检验得了、并且有人肯承认自己还没做完。

附：本文涉及的史实出处

• 欧几里得：《几何原本》十三卷，约公元前 300 年成书于亚历山大港；第五公设与三种非欧几何；希尔伯特《几何基础》1899 年补全公理化逻辑
• 丢番图：《算术》原题称十三卷，拜占庭传统传下六卷；1621 年巴舍·德·梅齐里亚克在巴黎出版希腊文—拉丁文对勘本；费马此书已失传
• 费马：约 1637 年前后在该书页边写下批注（原文为拉丁文）；1665 年去世，1670 年其子整理出版父亲边注；对 $n=3$、$n=4$ 曾向同行发出挑战题，一般情形从未寄出
• 费马 $n=4$：以无穷递降法证整数边直角三角形面积非平方数，等价于 $a^4+b^4=c^4$ 无正整数解
• 后续进展：欧拉 1770 年 $n=3$；索菲·热尔曼 1823 年一类情形；狄利克雷与勒让德 1825 年 $n=5$；拉梅 1839 年 $n=7$；库默尔 1847 年理想数与正则素数（37、59、67 非正则）；法尔廷斯 1983 年莫德尔猜想；里贝特 1986 年 epsilon 猜想；怀尔斯 1993 年 6 月 23 日宣布，1994 年 9 月与泰勒补全，1995 年 5 月《数学年刊》129 页
• 沃尔夫斯凯尔奖：1908 年 6 月 27 日哥廷根科学院公布奖金条件，本金 10 万马克，公布首年收到 621 份来稿；1997 年 6 月 27 日授予怀尔斯
• 韦达：《分析艺术入门》图尔 1591 年；《论方程的识别与订正》1615 年身后出版；元音表未知量、辅音表已知量
• 费马小定理：1640 年 10 月 18 日致 Frénicle de Bessy 信；欧拉 1736 年首个公开发表证明