球面与正三角形空间几何

球半径 $R=2$。$\triangle ABC$ 是边长为 $3$ 的等边三角形，$SA \perp$ 平面 $ABC$。

等边 $\triangle ABC$ 的外接圆半径 $r = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$。

设 $O'$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，则 $O'$ 在 $ABC$ 所在平面内，$O'O \perp$ 平面 $ABC$（$O$ 为球心）。

$SA \perp$ 平面 $ABC$，且 $A$ 在 $ABC$ 上，故 $SA$ 在过 $A$ 且垂直于 $ABC$ 的直线上。球心 $O$ 在过 $O'$ 且垂直于 $ABC$ 的直线上。

设 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $h$。则 $|OO'| = h$。

在 Rt$\triangle OO'A$ 中：$|OA|^2 = h^2 + r^2 = h^2 + 3 = R^2 = 4$，故 $h^2 = 1$，$h = 1$。

设 $SA = d$。建立空间直角坐标系：$A$ 为原点，$AS$ 沿 $z$ 轴正向，平面 $ABC$ 为 $xy$ 平面，$O'$ 在 $xy$ 平面上。

$A = (0, 0, 0)$，$S = (0, 0, d)$。$O'$ 到 $A$ 的距离为 $r = \sqrt{3}$，$O$ 在过 $O'$ 且平行于 $z$ 轴的直线上，距 $xy$ 平面为 $h = 1$。

球心 $O$ 可能位于 $z = 1$ 或 $z = -1$ 处（两种情况）。由对称性不妨取 $O$ 在 $z > 0$ 侧，$O = (x_{O'}, y_{O'}, 1)$，其中 $(x_{O'}, y_{O'})$ 是 $O'$ 的坐标。

$|OS|^2 = x_{O'}^2 + y_{O'}^2 + (d-1)^2 = r^2 + (d-1)^2 = 3 + (d-1)^2 = 4$。

$(d-1)^2 = 1$，$d-1 = \pm 1$，$d = 2$ 或 $d = 0$（舍）。

故 $SA = 2$。

答案

$SA = 2$。