数列

设 $m$ 为正整数，数列 $a_1,\dots,a_{4m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列。若从中删去两项 $a_i,a_j$（$i<j$）后剩余的 $4m$ 项可均分为 $m$ 组，每组 $4$ 个数成等差数列，称该数列为 $(i,j)$-可分数列。

(1) 写出所有 $(i,j)$（$1\leq i<j\leq 6$）使 $a_1,\dots,a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列；

(2) $m\geq 3$ 时证该数列是 $(2,13)$-可分数列；

(3) 从 $1,\dots,4m+2$ 任取两数 $i<j$，是 $(i,j)$-可分数列的概率 $P_m>\frac

21. 设 $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, M=\{(x_i,y_i)|x_i\in A,y_i\in A\}$. 选取 $n$ 个有序数对 $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$, 若相邻两项 $(x_i,y_i),(x_{i+1},y_{i+1})$ 满足 $|x_{i+1}-x_i|=3,|y_{i+1}-y_i|=4$ 或 $|x_{i+1}-x_i|=4,|y_{i+1}-y_i|=3$, 则称其为 $k$-列.

(1) 若 $k$-列第一项为 $(3,3)$, 求第二项;

(2) $\tau$ 是一个 $k$-列: 若 $i$ 为奇数则 $x_i

19. 已知数列 $\{a_n\}$ 是等差数列, $\{b_n\}$ 是等比数列, $a_1=b_1=2$, $a_2=b_2+1$, $a_3=b_3$.

(1) 求 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ 的通项公式;

(2) $\forall n\in\mathbf{N}^*$, $I=\{0,1\}$, $T_n=\left\{p_1a_1b_1+p_2a_2b_2+\cdots+p_na_nb_n \mid p_1,p_2,\cdots,p_n\in I\right\}$.

(i) 求证: 对任意实数 $t\in T_n$, 均有 $t<a_{n+1}b_{n+1}$;

21. 设 $A=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}$ 是一个 $m$ 行 $n$ 列的数阵，且数阵中的每一项 $a_{ij}\in\{-1,1\}$，都等于 $1$ 或 $-1$。若对任意 $1\leq i,p\leq m$，$1\leq j,q\leq n$，其中 $i\neq p$，$j\neq q$，且 $\left||i-p|-|j-q|\right|=2$，都有 $a_{ij}+a_{iq}+a_{pj}+a_{pq}=0$，则称数阵 $A$ 具有性质 $P$。

（1）判断下列两个数表是否具有性质 $P$：

$A_1$：2 行 4 列，第一行 $1,

设实数 $q$ 满足：存在数列 $\{a_n\}$，使得对于任意 $n \in \mathbf{N}^*$，均有 $a_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n$，且 $\{a_n\}$ 中有某连续 $9$ 项 $a_k$，$a_{k+1}$，$\cdots$，$a_{k+8}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则 $q$ 的最大值为 $\underline{\qquad}$。

一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群共有 $108$ 座塔，依山势自上而下排成 $12$ 行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_i\ (i=1,2,\dots,12)$，其中 $a_1=1$，$a_2=a_3=3$，$a_4=a_5=5$，且 $a_6,a_7,\dots,a_{12}$ 是一个首项为 $7$，公差为 $2$ 的等差数列。将 $a_1,a_2,\dots,a_{12}$ 分为 $6$ 组，每组 $2$ 个数，使得每组的 $2$ 个数之和可构成一个项数为 $6$ 且公差为 $d\ (d>0)$ 的等差数列。则 $d=$

A