三棱锥体积比

$P-ABC$ 中，$PM=\dfrac{1}{3}PC$，$PN=\dfrac{2}{3}PB$。

$\dfrac{V_{P-AMN}}{V_{P-ABC}}=\dfrac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}\cdot\dfrac{h_P\text{ 到 }AMN}{h_P\text{ 到 }ABC}$

因 $M$ 在 $PC$ 上，$N$ 在 $PB$ 上，$\triangle AMN$ 与 $\triangle ABC$ 不共面。

利用体积公式：$V_{P-AMN}=\dfrac{1}{3}S_{\triangle AMN}\cdot d(P,AMN)$。

更简洁：$\dfrac{V_{P-AMN}}{V_{P-ABC}}=\dfrac{[AMN]}{[ABC]}\cdot\dfrac{PM}{PC}\cdot...$

利用体积比等于高的比乘面积比。$\overrightarrow{PM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{PB}$。

$\dfrac{V_{P-AMN}}{V_{P-ABC}}=\dfrac{PN}{PB}\cdot\dfrac{PM}{PC}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}$

（因 $A$ 不变，$N$ 在 $PB$ 上比例为 $\frac{2}{3}$，$M$ 在 $PC$ 上比例为 $\frac{1}{3}$，体积比为两个比例的乘积。）

答案

选 B。体积比为 $\dfrac{2}{9}$。