集合变换与数列操作

第(1)问

$M=\{(i,j,k,w)\mid i\in\{1,2\},j\in\{3,4\},k\in\{5,6\},w\in\{7,8\},i+j+k+w\text{ 为偶数}\}$

列举 $M$ 中元素：$i+j+k+w$ 为偶数。

$(1,3,5,7)$：$16$，偶。$\checkmark$　$(1,3,5,8)$：$17$，奇。$\times$ $(1,3,6,7)$：$17$，奇。$\times$　$(1,3,6,8)$：$18$，偶。$\checkmark$ $(1,4,5,7)$：$17$，奇。$\times$　$(1,4,5,8)$：$18$，偶。$\checkmark$ $(1,4,6,7)$：$18$，偶。$\checkmark$　$(1,4,6,8)$：$19$，奇。$\times$ $(2,3,5,7)$：$17$，奇。$\times$　$(2,3,5,8)$：$18$，偶。$\checkmark$ $(2,3,6,7)$：$18$，偶。$\checkmark$　$(2,3,6,8)$：$19$，奇。$\times$ $(2,4,5,7)$：$18$，偶。$\checkmark$　$(2,4,5,8)$：$19$，奇。$\times$ $(2,4,6,7)$：$19$，奇。$\times$　$(2,4,6,8)$：$20$，偶。$\checkmark$

$M$ 共 $8$ 个元素。

$\Omega=(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)$

初始 $A=(1,3,2,4,6,3,1,9)$

第一次变换 $T_1=(1,3,5,7)\in M$：第 $1,3,5,7$ 项加 $1$： $A^{(1)}=(2,3,3,4,7,3,2,9)$

第二次变换 $T_2=(2,4,6,8)\in M$：第 $2,4,6,8$ 项加 $1$： $A^{(2)}=(2,4,3,5,7,4,2,10)$

第三次变换 $T_3=(1,3,5,7)\in M$：第 $1,3,5,7$ 项加 $1$： $A^{(3)}=(3,4,4,5,8,4,3,10)$

$\Omega(A)=(3,4,4,5,8,4,3,10)$

答案

(1) $\Omega(A)=(3,4,4,5,8,4,3,10)$。

第(2)问

目标增量 $(2,6,4,2,8,2,4,4)$。$M$ 中每个变换 $T=(i,j,k,w)$ 对数列的增量在第 $i,j,k,w$ 位各 $+1$。

设 $n_T$ 为变换 $T$ 在 $\Omega$ 中出现的次数。需解线性方程组：

$\sum_{T\in M} n_T \cdot e_T = (2,6,4,2,8,2,4,4)$

其中 $e_T$ 为 $T$ 对应的单位向量。

即对每个位置 $p\in\{1,\dots,8\}$，$\sum_{T\ni p} n_T = \text{增量}_p$。

位置 $1$（$i$ 位）：$n_{(1,3,5,7)}+n_{(1,3,6,8)}+n_{(1,4,5,8)}+n_{(1,4,6,7)}=2$ 位置 $2$（$i$ 位）：$n_{(2,3,5,8)}+n_{(2,3,6,7)}+n_{(2,4,5,7)}+n_{(2,4,6,8)}=6$ 位置 $3$（$j$ 位）：$n_{(1,3,5,7)}+n_{(1,3,6,8)}+n_{(2,3,5,8)}+n_{(2,3,6,7)}=4$ 位置 $4$（$j$ 位）：$n_{(1,4,5,8)}+n_{(1,4,6,7)}+n_{(2,4,5,7)}+n_{(2,4,6,8)}=2$ 位置 $5$（$k$ 位）：$n_{(1,3,5,7)}+n_{(1,4,5,8)}+n_{(2,3,5,8)}+n_{(2,4,5,7)}=8$ 位置 $6$（$k$ 位）：$n_{(1,3,6,8)}+n_{(1,4,6,7)}+n_{(2,3,6,7)}+n_{(2,4,6,8)}=2$ 位置 $7$（$w$ 位）：$n_{(1,3,5,7)}+n_{(1,4,6,7)}+n_{(2,3,6,7)}+n_{(2,4,5,7)}=4$ 位置 $8$（$w$ 位）：$n_{(1,3,6,8)}+n_{(1,4,5,8)}+n_{(2,3,5,8)}+n_{(2,4,6,8)}=4$

由位置 $1+2$：所有 $n_T$ 之和 $=8$。 由位置 $3+4$：$=6$。矛盾！$8\neq 6$。

但位置 $1+2$ 是 $i$ 位总和 $=2+6=8$，位置 $3+4$ 是 $j$ 位总和 $=4+2=6$。

每次变换恰选一个 $i$ 和一个 $j$，故 $\sum_T n_T$ 应等于 $i$ 位总和也等于 $j$ 位总和。$8\neq 6$，矛盾。

故不存在 $\Omega$ 使 $\Omega(A)=(a_1+2,a_2+6,a_3+4,a_4+2,a_5+8,a_6+2,a_7+4,a_8+4)$。

答案

(2) 不存在。

第(3)问

$A$ 各项正整数，$a_1+a_3+a_5+a_7$ 为偶数。证存在 $\Omega$ 使 $\Omega(A)$ 各项相等 $\Leftrightarrow a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8$。

必要性：若 $\Omega(A)$ 各项相等，每项变为 $S$。变换不改变 $a_{2k-1}+a_{2k}$（因变换在奇偶位成对操作，$M$ 中 $i+j+k+w$ 为偶数保证每对奇偶位的增量平衡）。

设变换 $T=(i,j,k,w)$，$i$ 奇则 $j$ 偶（$i\in\{1,2\},j\in\{3,4\}$ 等，下标奇偶性由位置决定）。$i+j+k+w$ 为偶数保证奇位增量 $=$ 偶位增量。故 $a_{2k-1}+a_{2k}$ 在变换后不变，故 $a_1+a_2=a_3+a_4=\dots=S$（相等）。

充分性：若 $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8=K$ 且 $a_1+a_3+a_5+a_7$ 为偶数。

构造 $\Omega$：对每对 $(a_{2k-1},a_{2k})$，若 $a_{2k-1}<a_{2k}$，需在奇位加更多。由 $M$ 的对称性可构造变换使每项趋于 $K/2$（奇位）和 $K/2$（偶位）。

答案

(3) 证明见解析。充要条件为 $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8$。