不放回抽球概率

$6$ 个球标 $1\sim 6$，不放回抽 $3$ 次。$m=\dfrac{a_1+a_2}{2}$，$n=\dfrac{a_1+a_2+a_3}{3}$。$|m-n|\leq\dfrac{1}{2}$。

$|m-n|=\left|\dfrac{a_1+a_2}{2}-\dfrac{a_1+a_2+a_3}{3}\right|=\left|\dfrac{3(a_1+a_2)-2(a_1+a_2+a_3)}{6}\right|=\dfrac{|a_1+a_2-2a_3|}{6}$

$\leq\dfrac{1}{2}$ 即 $|a_1+a_2-2a_3|\leq 3$。

总抽法 $A_6^3=120$ 种（有序）。

枚举：$a_1,a_2,a_3$ 为 $\{1,\dots,6\}$ 的有序三元组（不重复）。

$S=a_1+a_2-2a_3$。$|S|\leq 3$。

$S$ 的范围：$a_1+a_2\in[3,11]$，$a_3\in[1,6]$，$S\in[3-12, 11-2]=[−9,9]$。

对每个 $a_3$，$a_1+a_2$ 需满足 $2a_3-3\leq a_1+a_2\leq 2a_3+3$。

$a_3=1$：$a_1+a_2\in[-1,5]$，即 $\leq 5$。从 $\{2,3,4,5,6\}$ 选两个不同的有序对使 $a_1+a_2\leq 5$：$(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4)...$ 满足 $a_1+a_2\leq 5$ 且 $a_1,a_2\neq 1$。

对：$(2,3),(3,2)$：和 $5\leq 5$。$\checkmark$ $(2,4),(4,2)$：和 $6>5$。$\times$ 所以只有 $(2,3),(3,2)$。但还需 $a_1+a_2\geq -1$（恒成立）。

还需 $a_1+a_2$ 也可以 $=4$：$(2,3)$ 和 $=5$。$=3$：需两个数从 $\{2,\dots,6\}$ 和为 $3$，不可能。$=4$：不可能（最小 $2+3=5$）。$=5$：$(2,3)$。$2$ 个有序对。

$a_3=2$：$a_1+a_2\in[1,7]$，$a_1,a_2\neq 2$。最小 $1+3=4\geq 1$。最大 $6+5=11$，需 $\leq 7$。

从 $\{1,3,4,5,6\}$ 选有序对使 $a_1+a_2\leq 7$：

$(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1)$：和 $\leq 7$：$1+3=4,1+4=5,1+5=6,1+6=7$。$8$ 个。

$(3,4),(4,3)$：和 $7\leq 7$。$2$ 个。$(3,5)$：$8>7$。$\times$

共 $8+2=10$ 个。

$a_3=3$：$a_1+a_2\in[3,9]$，从 $\{1,2,4,5,6\}$ 选。最小 $1+2=3\geq 3$。最大 $6+5=11>9$，需 $\leq 9$。

全部有序对 $5\times 4=20$ 个。减去 $a_1+a_2>9$ 即 $=10$ 或 $=11$ 的：$(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)$。$4$ 个。

$20-4=16$ 个。

$a_3=4$：$a_1+a_2\in[5,11]$，从 $\{1,2,3,5,6\}$。$20$ 个有序对。减去 $<5$：$1+2=3,1+3=4,2+1=3,3+1=4,2+3=5\geq 5$。$<5$ 的：$(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)$。$4$ 个。$20-4=16$。

$a_3=5$：$a_1+a_2\in[7,13]$，从 $\{1,2,3,4,6\}$。$20$ 个。减去 $<7$：$1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+6=7\geq 7,2+3=5,2+4=6,2+6=8\geq 7,3+4=7\geq 7$。

$<7$：$(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2)$。$10$ 个。$20-10=10$ 个。

$a_3=6$：$a_1+a_2\in[9,15]$，从 $\{1,2,3,4,5\}$。最大 $5+4=9\leq 15$。需 $\geq 9$。$=9$：$(4,5),(5,4)$。$2$ 个。

总满足条件：$2+10+16+16+10+2=56$。

$P=\dfrac{56}{120}=\dfrac{7}{15}$。

答案

$|m-n|\leq\dfrac{1}{2}$ 的概率为 $\dfrac{7}{15}$。