函数单调性与指数不等式

第(1)问

$f(x)=a(x-1)-\ln x+1$，定义域 $x>0$。

$f'(x)=a-\dfrac{1}{x}=\dfrac{ax-1}{x}$

当 $a\leq 0$ 时：$f'(x)<0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减。

当 $a>0$ 时：$f'(x)=0$ 当 $x=\dfrac{1}{a}$。

$0<x<\dfrac{1}{a}$ 时 $f'(x)<0$（递减），$x>\dfrac{1}{a}$ 时 $f'(x)>0$（递增）。

答案

(1) $a\leq 0$ 时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 递减；$a>0$ 时在 $\left(0,\dfrac{1}{a}\right)$ 递减，在 $\left(\dfrac{1}{a},+\infty\right)$ 递增。

第(2)问

$a\leq 2$ 时，证 $x>1$ 时 $f(x)<e^{x-1}$。

即证 $a(x-1)-\ln x+1<e^{x-1}$ 对 $x>1$ 成立。

$e^{x-1}\geq 1+(x-1)+\dfrac{(x-1)^2}{2}+\cdots\geq x$（$x>1$）。

又 $a\leq 2$，$a(x-1)\leq 2(x-1)$。

需证 $2(x-1)-\ln x+1<e^{x-1}$，即 $2x-1-\ln x<e^{x-1}$。

设 $h(x)=e^{x-1}-2x+1+\ln x$，$x>1$。

$h(1)=1-2+1+0=0$。

$h'(x)=e^{x-1}-2+\dfrac{1}{x}$

$h'(1)=1-2+1=0$。

$h''(x)=e^{x-1}-\dfrac{1}{x^2}$

$h''(1)=1-1=0$。

$h'''(x)=e^{x-1}+\dfrac{2}{x^3}>0$，故 $h''(x)$ 递增。$x>1$ 时 $h''(x)>h''(1)=0$。

$h''(x)>0$ 故 $h'(x)$ 递增，$h'(x)>h'(1)=0$。

$h'(x)>0$ 故 $h(x)$ 递增，$h(x)>h(1)=0$。

即 $e^{x-1}-2x+1+\ln x>0$，$e^{x-1}>2x-1-\ln x$。

因 $a\leq 2$，$a(x-1)\leq 2(x-1)=2x-2$，故 $f(x)=a(x-1)-\ln x+1\leq 2x-2-\ln x+1=2x-1-\ln x<e^{x-1}$。

答案

(2) 证明见解析，利用 $h'''(x)>0$ 逐阶递推 $h(x)>0$。