三角形正弦和

$\triangle ABC$，$B=\dfrac{\pi}{3}$，$b^2=\dfrac{9}{4}ac$。

由正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$，$b^2=\dfrac{9}{4}ac$ 即 $\dfrac{\sin^2 B}{\sin A\sin C}=\dfrac{9}{4}$。

$\sin B=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin^2 B=\dfrac{3}{4}$。

$\dfrac{3/4}{\sin A\sin C}=\dfrac{9}{4}$，$\sin A\sin C=\dfrac{1}{3}$。

$A+C=\pi-B=\dfrac{2\pi}{3}$。

$\sin A+\sin C=2\sin\dfrac{A+C}{2}\cos\dfrac{A-C}{2}=2\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{A-C}{2}=\sqrt{3}\cos\dfrac{A-C}{2}$。

$\sin A\sin C=\dfrac{1}{3}$，又 $\sin A\sin C=\dfrac{1}{2}[\cos(A-C)-\cos(A+C)]=\dfrac{1}{2}[\cos(A-C)+\dfrac{1}{2}]$（因 $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$）。

$\dfrac{1}{2}\left[\cos(A-C)+\dfrac{1}{2}\right]=\dfrac{1}{3}$

$\cos(A-C)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}$

$\cos(A-C)=\dfrac{1}{6}$

$\cos\dfrac{A-C}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos(A-C)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+1/6}{2}}=\sqrt{\dfrac{7/6}{2}}=\sqrt{\dfrac{7}{12}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{21}}{6}$

$\sin A+\sin C=\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{21}}{6}=\dfrac{\sqrt{63}}{6}=\dfrac{3\sqrt{7}}{6}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$

答案

选 C。$\sin A+\sin C=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$。