第8讲 两千年没停过的两个人 —— 一个人 866 篇，一个人 1500 篇

前面的几讲讲了几种"等不到读者"的人。刘徽在注里标下存疑，一百多年后祖暅才去解；徐光启译到第六卷停下，后九卷隔了 250 年才补齐。等，是数学的常态——大部分成果都是死后才被人读完的。

这一讲讲相反的情况。有一种人一生被读不完，他们的产出大到身后还要别人接着出版几十年。 欧拉和埃尔德什是两种极端：一个是把"一个人能写多少"推到极限，一个是把"一个人能和多少人一起写"推到极限。

欧拉：把全集留给后人去编

欧拉（1707—1783）正式发表或已经准备发表的论文约 866 篇。这个数字本身还不算最惊人的部分——圣彼得堡科学院在他身后又继续整理出版他的未刊稿近 50 年，最后汇集的全集达数十卷。 也就是说，他写的东西多到出版方需要半个世纪才追得上。

然后是身体的账。1738 年他的右眼接近失明，1766 年左眼白内障手术后也近乎全盲。在此之后，约一半的成果是在失明状态下完成的，方式是口授、由助手记录。 一个看不见图形的人，靠记忆和口算继续做研究，1775 年他平均每周产出一篇论文。

1771 年他家遭火灾，手稿几乎全毁。他在别人的帮助下凭记忆重写——重写出来的东西，构成了今天欧拉全集的一部分。至于那句被传得很广的话，大意是失了明反倒更专心、更少分心，这句话有出处但版本不一，转述就好，别当原文引用。

这里要提醒一句：读这些数字容易读成"勤劳故事"，那就读偏了。 它是生产率问题，不是道德问题。一个人每周一篇连续几十年，这件事只有在一整套支撑系统下才可能发生：固定的助手、容忍失败的发表渠道、和一个愿意在他死后继续出他手稿五十年期的机构。产出量背后是一种社会分工。

课本里到处是欧拉

如果只能让学生记住一件关于欧拉的事，我选这件：他们每天在用的符号，很多是他定的。

• $e$ —— 自然对数的底。这个字母是他用起来的，今天课本里 $\ln x$ 的定义基础、复利模型、连续增长，都建立在这个常数上。
• $f(x)$ —— 函数的记号。在欧拉之前，函数没有一种通用的写法。他用 $f(x)$ 表示"一个规则把 $x$ 送到某个值"，1734 年之后通行开来。今天高中函数这一章的整套语言，骨架是他的。
• $\sum$ —— 求和号。课本里数列求和的 $\sum$ 不是天然就有的，它是一步步简化出来的结果。
• $i$ —— 虚数单位。$\sqrt{-1}$ 这个"不存在的东西"由他引入记号，从此可以参与运算。
• $\pi$ —— 圆周率。今天全世界通用的这个写法，通行归功于他的推广使用；更早是否已有他人用过这个符号，待考。

这几样东西凑在一起，就是课本里最著名的那一行：

$e$ 是增长的底，$i$ 是虚数，$\pi$ 是圆周率，$1$ 是单位，$0$ 是nothing。五个看起来毫不相干的常数，被一行等式绑在一起。 这个式子出自他的复指数公式，是他成果里最像一则广告的东西。今天高中生学复数模、学三角式，最后能看懂的往往就是这一行。

值得在课堂上说的是这件事的另一面：符号是人造的，而且可以改。学生在作业里觉得"$f(x)$ 本来就该这么写"，但这是 18 世纪的人一次次选出来的、最省力的那一种写法。选对一个记号，等于替后来所有人降低一辈子的理解成本——这跟第四讲讲徐光启、李善兰定译名，是同一种劳动。

埃尔德什：一个人的 1500 篇，和 500 位合作者

埃尔德什（1913—1996）走的是完全相反的路。他一生约 1500 篇论文，合作者 500 余人。

他没有固定职位，带着两只行李箱周游各国，住在同行家里，住几天，合作一个题目，再走。 这种生活方式在今天的高校体制里几乎不可复制。它的直接后果是论文署名里"埃尔德什"这三个字的密度极高——他不是在自己名字后署名，是在几乎整个学科的几百分论文上共同署名。

这件事产生了一个副产品："埃尔德什数"——在合作图上，一个人到埃尔德什的最短距离是多少。与他合过作的人是 1，与他合作者合过作的人是 2，往下可以一直数。它成了数学社会学的现象，也是"合作可以度量"的一个玩笑式的尝试。一个人把自己的工作方式变成了一个可以定义在图上的量，这件事本身就说明他的组织方式有多特别。

他 83 岁去世，去世前仍在工作。对一个无职位、无团队、靠同行客厅开展工作的人来说，这个数字比任何头衔都更能说明问题。

伯努利家族：多产的另一种形态

伯努利家族代表第三种形态：多产不是靠一个人，是靠三代人。 家族里前后出了约 8 位数学家。今天课本上能碰到的是雅各布（概率论、大数定律）、约翰（微积分）、丹尼尔（流体力学、伯努利方程）。伯努利方程在高中物理讲流体时会遇到——伯努利原理的一个直接体现。

但这个家族的故事里有一段不好看的：父子兄弟之间因为优先权与名分公开争胜，相互贬低对方成果的事不止一次。这不是花边新闻，这是提醒：数学史上"谁先想到的"从来不是单纯的学术问题。

图示：一个人、一代人、一群人

数量不是标准，组织方式才是

把这一讲的几个人和伽罗瓦并排放，不是为了评出名次。

伽罗瓦 20 岁留下约 60 页手稿，为群论埋下种子；欧拉一年约 60 篇；埃尔德什约 1500 篇摊在 500 位合作者身上。这三组的差别不在勤奋程度，在数学劳动被怎么组织：一个人的苦思、一台带助手和出版系统的写作机器、一个流动中的协作网络。

对学生有用的结论有两条。第一，学科的发展既需要那种"一辈子只想一个问题"的人，也需要那种"到处点火的"人，两种极端都有真实贡献。第二，也是更实际的：别把"产出量"当成自我评价的标准。 欧拉的 866 篇和埃尔德什的 1500 篇，是体制、健康和合作方式共同给出来的结果，不是一个学生每天该背的指标。真正要学的是他们各自的组织方式——欧拉知道怎么让自己的失明不变成停工，埃尔德什知道怎么把"住在谁家"变成研究机会。

讲给学生听时，讲什么

第一，上课讲到 $f(x)$ 时停十秒钟。 就指着这个记号问一句：你们知道这个写法是谁定的吗？然后告诉他们欧拉，以及 $e$、$\sum$、$i$ 也是他推广或引入的。这一下"数学史是活人在做事"就落地了，比任何动员都管用。

第二，把 (1) 那一行公式当彩蛋放。 不用讲复指数推导，高中生先建立直觉：$e$、$i$、$\pi$、$1$、$0$ 能串成一行等式，这本身就是数学值得学的理由。等到他们学复数三角式时，这一行会变成可以真正理解的东西——让学生知道"有个东西在前面等他"，这比提前讲更有用。

第三，讲失明和火灾这两件事之前，先讲 866 篇之外的那半个世纪。 重点不是欧拉惨，是他死后出版方还在出他的手稿。要让学生明白：一件成果能不能留下来，一半靠作者，一半靠有没有人愿意接着编。

第四，埃尔德什的两只行李箱可以拿来讨论"条件"与"借口"。 让学生列一列：没有固定职位是不利条件，他把它变成了协作网络。反过来问一句，你的哪些"条件不足"其实可以重组？这一条是价值引导，不是史实讲述，点到就好。

一句话总结

数学史上最惊人的数字不是某一个人的 866 篇，而是有人能让 500 个人同时替他署名——产出量的背后，永远是劳动的组织方式。

附：本文涉及的史实出处

• 欧拉：正式发表或待发表论文约 866 篇；身后圣彼得堡科学院整理出版未刊稿近 50 年，全集数十卷；1738 年右眼接近失明，1766 年左眼白内障手术后近乎全盲，此后约一半成果口授助手完成；1775 年平均每周一篇；1771 年火灾毁稿后凭记忆重写；"更少分心"一语版本不一，仅作转述
• 记号：$f(x)$（1734 年起通行）、$\sum$、$i$、$e$ 的通行使用归于欧拉；$\pi$ 的通行同样归于他的推广，更早是否已有他人使用待考
• 欧拉公式 $e^{i\pi}+1=0$：出自其复指数公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
• 埃尔德什：约 1500 篇论文，合作者 500 余人；无固定职位，携两只行李箱旅居各国数学家家中；埃尔德什数为合作图最短距离
• 伯努利家族：三代约 8 位数学家；雅各布（概率论、大数定律）、约翰（微积分）、丹尼尔（流体力：学、伯努利方程）；家族内优先权之争见诸其通信
• 伽罗瓦：20 岁去世，留下约 60 页手稿，为群论奠基