空间点集与线性无关条件

$\Omega$ 中任取 $P_1,P_2,P_3$，存在不全为零的 $\lambda_i$ 使 $\lambda_1\overrightarrow{OP_1}+\lambda_2\overrightarrow{OP_2}+\lambda_3\overrightarrow{OP_3}=\vec{0}$。

即 $\Omega$ 中任意三点共面（过原点的平面）。

$(1,0,0)\in\Omega$。需找充分条件使 $(0,0,1)\notin\Omega$。

若 $(0,0,1)\in\Omega$，取 $P_1=(1,0,0)$，$P_2=(0,0,1)$，$P_3$ 为 $\Omega$ 中任一点，需三向量线性相关（共面）。

若 $(0,1,0)\in\Omega$（选项 C）：$P_1=(1,0,0)$，$P_2=(0,1,0)$，$P_3=(0,0,1)$，三个标准基向量线性无关，矛盾！故 $(0,0,1)\notin\Omega$。

但这是充要条件吗？需 $\Omega$ 中存在 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ 才矛盾。若 $\Omega$ 不含 $(0,1,0)$，则 C 的条件不成立。

若 $(-1,0,0)\in\Omega$（选项 B）：$P_1=(1,0,0)$，$P_2=(-1,0,0)$，$P_3=(0,0,1)$，$\overrightarrow{OP_1}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{OP_2}=(-1,0,0)$，$\overrightarrow{OP_3}=(0,0,1)$。$\lambda_1(1,0,0)+\lambda_2(-1,0,0)+\lambda_3(0,0,1)=(0,0,0)$。$\lambda_1=\lambda_2$，$\lambda_3=0$。取 $\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=0$ 满足。不矛盾！

故 $(0,0,1)$ 可以在 $\Omega$ 中（当 $(-1,0,0)\in\Omega$ 时），B 不是充分条件。

选项 C 正确：$(0,1,0)\in\Omega$ 时若 $(0,0,1)\in\Omega$，取三标准基向量线性相关矛盾。

答案

选 C。