球面四点与三棱锥

球体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=4\sqrt{3}\pi$，$R^3=3\sqrt{3}$，$R=\sqrt{3}$。

$DA=DB=DC=\sqrt{2}$，$D$ 到 $\triangle ABC$ 三个顶点等距。

设 $\triangle ABC$ 外接圆半径为 $r$，$D$ 在外接圆的轴线上，$D$ 到外接圆圆心 $O_1$ 的距离为 $d$。

$DA^2=r^2+d^2=2$。

$O_1$ 到球心 $O$ 的距离为 $h$，$d+|h|=\sqrt{R^2-r^2}$ 或需要三维分析。

在球中，$A,B,C,D$ 都在球面上。$\triangle ABC$ 的外心 $O_1$，球心 $O$ 在 $\triangle ABC$ 的法线上。

$AO=BO=CO=R=\sqrt{3}$。

设 $\triangle ABC$ 边长为 $a$，外接圆半径 $r=\frac{a}{\sqrt{3}}$（等边三角形外接圆半径公式）。

$AO_1=r=\frac{a}{\sqrt{3}}$，$OO_1^2=R^2-r^2=3-\frac{a^2}{3}$。

$D$ 到 $O_1$ 的距离 $DO_1$：$DO^2=R^2=3$，$DO_1^2+OO_1^2\pm 2DO_1\cdot OO_1=DO^2$。

$DA^2=r^2+d^2=2$，其中 $d=DO_1$，$\frac{a^2}{3}+d^2=2$，$d^2=2-\frac{a^2}{3}$。

$OO_1^2=3-\frac{a^2}{3}$。

$O$ 在 $D$ 和 $O_1$ 的延长线或之间。若 $O$ 在 $D$ 和 $O_1$ 同侧：$DO=DO_1+OO_1$ 或 $|DO_1-OO_1|$。

$DO^2=R^2=3$。

$d^2+h^2\pm 2dh=R^2$... 经计算 $a^2=3$，$a=\sqrt{3}$。

$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

答案：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$。