第7讲 张丘建与孙子算经的不定方程对比

原典对比

孙子算经：今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

张丘建算经：鸡翁一、鸡母一、鸡雏三，百钱买百鸡。问各几何？

这道题说的是什么

两个典籍中的不定方程问题，孙子算经关注的是同余问题（中国剩余定理的前身），张丘建算经关注的是不定方程求整数解。两者都是中国古代数学对"方程"问题的深刻理解。

示意图

不定方程发展脉络——孙子算经（同余→中国剩余定理）与张丘建算经（三元不定方程）对比。

古人的算法

孙子算法（物不知数）：

三三数之剩二 $\Rightarrow$ $N \equiv 2 \pmod{3}$
五五数之剩三 $\Rightarrow$ $N \equiv 3 \pmod{5}$
七七数之剩二 $\Rightarrow$ $N \equiv 2 \pmod{7}$

古人的歌诀："三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。"

计算：$2 \times 70 + 3 \times 21 + 2 \times 15 = 233$，$233 - 2 \times 105 = 23$。

张丘算法（百钱买百鸡）：消元得 $7x + 4y = 100$，枚举 $x = 4k$。

现代数学视角

这两个问题在现代数学中对应不同的分支：

孙子算法 → 中国剩余定理（数论）：

若 $m_1, m_2, \ldots, m_n$ 两两互质，则同余方程组：

有唯一解（模 $M = m_1 m_2 \cdots m_n$）。

张丘算法 → 不定方程的整数解（代数）：

方程 $ax + by = c$ 的整数解存在当且仅当 $\gcd(a, b) \mid c$。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：不定方程体现了"有限制条件下的求解"思想。孙子算法是程序化思维的早期典范（歌诀就是古代的程序代码），张丘算法则展示了参数化方法。

运算练兵场：同余运算、不定方程求解、最大公约数与最小公倍数的计算。

高考地位：这两个问题都可能以数学文化题的形式出现（如2019年全国卷引入黄金分割，2018年引入太极图）。

思考与拓展

1. 用孙子算法解"物不知数"问题：三三数之剩一，五五数之剩四，七七数之剩三。
2. 证明：不定方程 $ax + by = c$ 有整数解的充要条件是 $\gcd(a, b) \mid c$。
3. 除了百钱买百鸡，张丘建算经中还有哪些不定方程问题？它们有什么共同特点？

一句话总结

孙子歌诀是古代的程序代码，张丘参数化是古代的通解公式——不定方程的中国智慧，今天读来依然精彩。