第8讲 从百钱买百鸡到线性规划初步

原典

今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？

从不定方程到线性规划

如果改变条件："用不超过100钱，买尽可能多的鸡"，这就变成了线性规划问题。

设鸡翁 $x$ 只、鸡母 $y$ 只、鸡雏 $z$ 只，目标函数为 $\max(x + y + z)$，约束条件为：

示意图

线性规划可行域——在 $x$-$y$ 平面上，满足约束条件的区域（阴影部分），最优解在顶点处取得。

现代数学视角

线性规划的标准形式：

目标函数：$z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n \rightarrow \max$ 或 $\min$

约束条件：$\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n \le b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n \le b_2 \\ \cdots \\ x_i \ge 0 \end{cases}$

线性规划的基本定理：最优解在可行域的顶点处取得。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：从不定方程到线性规划，体现了从"等式约束"到"不等式约束"的扩展。现实生活中的优化问题（如资源分配、生产计划）几乎都是线性规划。

运算练兵场：列约束条件、作可行域图、找最优解。

高考地位：线性规划是高考常考内容（选择题或填空题），通常与二元一次不等式组、实际优化问题结合。

思考与拓展

1. 用100钱买三种鸡，最多能买多少只？（线性规划问题）
2. 如果新增约束"鸡翁至少8只、鸡母至少5只"，最大能买多少只鸡？
3. 线性规划的解是否一定是不定方程的解？举例说明。

一句话总结

百钱买百鸡是不定方程的经典，把它"放松"成不等式约束，就是线性规划——古代智慧与现代优化的完美衔接。