第6讲 工程问题中的比例分配

原典

今有城，方九里，欲分三县筑之。县北一、次东一、次南一、次西一（按方位分配）。问各县筑几里？

这道题目虽然简单，但体现了古代按比例分配工程量的思想。

张丘建算经中更经典的工程问题是按比例分配工作量的问题，如不同工作效率的人共同完成一项工程。

这道题说的是什么

按比例分配是数学中最常见的问题模型之一。核心是把总量按照一定的比例分成若干部分。

示意图

比例分配——总量 $S$ 按比例 $a : b : c$ 分成三部分，分别为 $\dfrac{a}{a+b+c}S$，$\dfrac{b}{a+b+c}S$，$\dfrac{c}{a+b+c}S$。

古人的算法

按比例分配的基本公式：

例如：总量为 $S$，按 $a : b : c$ 分配，则三部分分别为：

现代数学视角

在高中数学中，按比例分配是线性规划的基础。在复杂的工程问题中，可能涉及：

• 效率问题：不同工作效率的人（或机器）共同工作，计算总时间。
• 合作问题：两队合作完成工程，计算各自的工作量。
• 分段计费：水电费按阶梯计价，本质上是分段比例。

线性规划的标准形式：

在高中数学体系里的位置

思想延伸：按比例分配体现了公平与效率的数学抽象。现实生活中的很多决策问题（如资源分配、生产计划）都可以建模为线性规划。

运算练兵场：比例运算、不等式组求解、线性规划作图求解。

高考地位：线性规划是高考常考内容（小题），也常与实际应用题结合（大题）。

思考与拓展

1. 甲、乙、丙三人合做一项工程，甲单独做需6天，乙需8天，丙需12天。三人合作需几天完成？
2. 某城市水费标准：10吨以内每吨2元，超过10吨部分每吨3元。写出用水量为 $x$ 吨时的水费函数。
3. 设计一个按比例分配的实际问题，并用线性规划方法求解。

一句话总结

按比例分配——从古代的城池建设到现代的生产调度，比例始终是数学工具箱的标配。