第3讲 勾股测望术——古人怎么测高度

原典

今有井，径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水面，径入井径四分之一（即一寸五分）。问井深几何？

答曰：井深一丈二尺五寸。

术曰：井径五寸，入井径四分之一，即立木望水，入井径一寸五分。以入井径一寸五分为减立木（五分），余三分五寸为井深所生。以井径五寸乘立木五寸为实，以三寸五分为法除之，得井深。

这道题说的是什么

这是利用相似三角形测量井深的问题。在井口立一根已知长度的木杆，通过木杆顶端和水面的视线与水平面的夹角关系，计算井的深度。

示意图

井深测量——立木与水面构成相似三角形，通过比例关系求井深。

古人的算法

设木杆高为 $H = 5$ 尺，井口半径为 $r = 2.5$ 尺（直径5尺）。木杆底部到井口的距离为 $r$，木杆顶部到水面的视线经过井口内缘，形成两个相似直角三角形。

由相似三角形对应边成比例：

其中 $\Delta$ 为视线进入井口的距离（一寸五 = 1.5寸），$d$ 为井深。

代入数值（统一为寸）：

注意：古率取整，答案为一丈二尺五寸（即125寸），说明古人的算法更直接（可能采用重差术）。

现代数学视角

在高中数学中，这类问题对应解三角形的内容。利用正弦定理或余弦定理：

正弦定理：$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

古人的"重差术"本质上是通过构造两个相似三角形（或可建立比例关系的三角形），利用已知边长求未知边长。这与现代数学中"利用相似三角形测高度"的方法完全一致。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：重差术体现了化归思想——把不可直接测量的量转化为可测量的量，通过比例关系求解。这种思想在现代数学中广泛应用（如利用影子测高度、利用三角函数测距离）。

运算练兵场：解三角形的计算涉及三角函数值的精确计算、代数方程的求解，对运算能力要求较高。

高考地位：解三角形是高考必考内容（通常在大题第17题），常与实际测量、导航问题等背景结合。

思考与拓展

1. 如果井口不是圆形而是方形，算法需要改变吗？为什么？
2. 如果木杆倾斜（与地面不垂直），还能用相似三角形算法吗？需要增加什么条件？
3. 设计一个利用相似三角形测量学校旗杆高度的方案，写出具体步骤和计算公式。

一句话总结

重差术——古人没有三角函数，却用相似三角形把"不可测"变成"可测"，这就是数学的力量。