张丘建算经 · 第 4 讲 · 2026-09-28 · 约 10 分钟

第4讲方田与环田——面积计算的古法今用

方田（正方形田）、环田（圆环形田）是九章算术的经典内容，张丘建算经中也有涉及。面积计算是几何的基础，古今方法一脉相承。

原典

今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。为田几何？

答曰：二亩五十七步（古率：1亩=240平方步）。

术曰：中外周相减余三十步，以乘径五步得一百五十步，得半三百步为实，以亩法除之。

环形田的面积计算。已知内圆周长（中周）、外圆周长（外周）和环宽（径），求环形面积。

环田面积示意图

环田面积——内圆半径 $r$ ，外圆半径 $R$ ，环宽 $R - r = 5$ 步，环形面积等于大圆面积减小圆面积。

环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积。古人的算法是：

\text{面积} = \frac{\text{外周} + \text{内周}}{2} \times \text{环宽}

验证： $\frac{92 + 122}{2} \times 5 = 107 \times 5 = 535$ 平方步。

这个算法对圆环是近似值（更精确的算法是 $\pi(R^2 - r^2)$ ）。但古人知道，当环宽远小于半径时，这个近似值非常接近真实值。

圆的周长公式： $C = 2\pi r$ ，圆的面积公式： $S = \pi r^2$ 。

环形面积精确公式：

S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R + r)(R - r) \qquad (1)

将 $R = \frac{C_{外}}{2\pi}$ 和 $r = \frac{C_{内}}{2\pi}$ 代入：

S = \frac{(C_{外} + C_{内})(C_{外} - C_{内})}{4\pi} \qquad (2)

古人的算法 $S \approx \frac{C_{外} + C_{内}}{2} \times (R - r)$ 当 $\pi \approx 3$ 时精确成立：

\frac{(C_{外} + C_{内})(C_{外} - C_{内})}{4 \times 3} = \frac{(C_{外} + C_{内})}{2} \times \frac{C_{外} - C_{内}}{6} = \frac{(C_{外} + C_{内})}{2} \times (R - r)

思想延伸：圆的计算体现了从直线到曲线的思维跃迁。矩形面积是长×宽，圆面积是 $\pi r^2$ ，环形面积则是外圆减内圆。这种"先分后合、化曲为直"的思想贯穿整个微积分。

运算练兵场：涉及圆的周长和面积的综合计算，需要熟练运用代数变形。

高考地位：圆的方程和面积计算是解析几何的基础，常与直线与圆的位置关系结合考查。

环形面积——古人的近似算法基于"化曲为直"的思想，当环宽远小于半径时非常精确，这是微积分思想的萌芽。

— Y. · 2026-09-28