第2讲 等差数列的前世今生

原典

今有女子善织，日自倍。初日织五尺，问一月（三十日）共织几何？

答曰：一百八十三匹一丈。

术曰：初日织五尺，末日织一百六十三尺。并初末以乘日数，得一千四百二十五尺。以匹法四百八十尺除之，得二匹……（此为更复杂的等差问题示例）

张丘建算经中还有更经典的等差题：今有九里官渠，第一天挖七里，以后每天少挖一半，问九里需几日完成？

这道题说的是什么

这是一个等差数列求和问题。如果每天的工作量成等差数列（如每天少挖固定量），求总工作量就是求等差数列的前 $n$ 项和。

示意图

等差数列——每天工作量递减，首项为 $a_1$，公差为 $d$（负数），前 $n$ 项和为 $S_n$。

古人的算法

设首项为 $a_1$，第 $n$ 项为 $a_n$，则前 $n$ 项和为：

这个公式在现代数学中被称为等差数列求和公式（倒序相加法），但在中国古代早已使用。

现代数学视角

等差数列的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差为常数 $d$（公差）。

通项公式：

前 $n$ 项和公式：

这三个公式是高中数列的基础，也是高考的必考内容。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：等差数列体现了均匀变化的思想——现实世界中很多现象都是均匀变化（匀速直线运动、固定折旧等），等差数列是描述这类现象的数学模型。

运算练兵场：等差数列的题目涵盖五个量（$a_1, a_n, d, n, S_n$）的"知三求二"，需要灵活运用通项公式和求和公式。

综合题常客：等差数列常与函数、不等式、实际应用题结合，也常与等比数列形成对照。

思考与拓展

1. 一个等差数列的首项为3，公差为-2，求前多少项的和最大？最大值是多少？
2. 证明：等差数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数（无常数项）。
3. 如果一张纸厚度为0.1毫米，每次对折厚度翻倍，对折多少次后能超过珠穆朗玛峰的高度（8848米）？

一句话总结

等差数列求和公式——"首末相加乘以项数除以二"，这个公式两千年前就是中国数学家的常规武器。