第1讲 百钱买百鸡——不定方程的鼻祖

原典

今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？

答曰：鸡翁四，鸡母十八，鸡雏七十八。

又答：鸡翁八，鸡母十一，鸡雏八十一。

又答：鸡翁十二，鸡母四，鸡雏八十四。

这道题说的是什么

用100钱买100只鸡。公鸡5钱/只，母鸡3钱/钱，小鸡3只1钱（即1钱/3只）。这是一个经典的不定方程问题：有两个方程（鸡的总数 + 钱的总数 = 100），却有三个未知数（公鸡、母鸡、小鸡的数量），因此有无穷多组解。古人通过枚举和观察，找出了所有的整数解。

示意图

百钱买百鸡——三种鸡的数量组合，满足百钱百鸡的条件。图中展示三组解对应的鸡群分布。

古人的解法

设鸡翁 $x$ 只，鸡母 $y$ 只，鸡雏 $z$ 只，则：

$$\begin{cases} x + y + z = 100 \\ 5x + 3y + \dfrac{1}{3}z = 100 \end{cases}$$

两式相消（第二式乘以3减去第一式乘以1）：

$$15x + 9y + z - (x + y + z) = 300 - 100$$ $$14x + 8y = 200$$

化简：

$$7x + 4y = 100 \qquad (1)$$

由此得：

$$y = \frac{100 - 7x}{4} = 25 - \frac{7x}{4}$$

要使 $y$ 为非负整数，$x$ 必须是4的倍数。设 $x = 4k$（$k$ 为非负整数）：

$$y = 25 - 7k, \quad z = 100 - 4k - (25 - 7k) = 75 + 3k$$

约束条件：$y \geq 0$，即 $25 - 7k \geq 0$，得 $k \leq 3$。因此 $k = 0, 1, 2, 3$：

$k$	鸡翁 $x = 4k$	鸡母 $y = 25-7k$	鸡雏 $z = 75+3k$
0	0	25	75
1	4	18	78
2	8	11	81
3	12	4	84

现代数学视角

这是一个线性不定方程问题。方程 $7x + 4y = 100$ 是二元一次不定方程，其整数解的结构为：

$$x = x_0 + 4t, \quad y = y_0 - 7t$$

其中 $(x_0, y_0) = (0, 25)$ 是一个特解，$t$ 为整数。加上非负约束 $x \geq 0, y \geq 0$，得到所有非负整数解。

不定方程在高中数学里属于选修4-6《不等式选讲》的内容，核心是找整数解。在高考中，这类问题可能以数列、不等式或数学文化题的形式出现。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：不定方程体现了有限制条件下的穷举思想。古代数学通过系统枚举找出所有解，现代数学则通过参数化和约束条件确定解集。

运算练兵场：本题涉及方程组消元、整数约束分析、分类讨论，是对运算能力的综合训练。

高考地位：不定方程在高考中常与数列、不等式结合，也可能作为数学文化题的素材出现（如2019年全国卷引入"维纳斯"问题）。

思考与拓展

1. 如果公鸡和母鸡的价格互换（公鸡3钱，母鸡5钱），答案会发生什么变化？
2. 如果要求三种鸡都必须买到（每种至少一只），有多少组解？
3. 推广到一般情况：买 $m$ 只鸡花 $n$ 钱，价格分别为 $a, b, c$（小鸡价格按比例），解存在的条件是什么？

一句话总结

百钱买百鸡是中国古代不定方程的代表作——古人用系统的枚举法找出了所有整数解，展现了非凡的运算能力。