数书九章 · 第 32 讲 · 2026-11-16 · 约 12 分钟

均田分税——按田亩面积分配赋税

秦九韶用等差级数解决按田亩面积公平分配赋税的问题，体现了中国古代赋税制度的数学智慧。

原典

今有州县田亩不等，户税有差，欲均其赋，问各出几何？

答曰：依均田分税术算。

术曰：以总田亩为实，以总户数为法除之，得每户平均田亩。又以田多寡为差，立等差数列，按田亩多少分配赋税。

——秦九韶《数书九章》赋役类

南宋时期，各州县田亩面积不等，每户拥有的土地多少不一，但赋税征收往往存在不公平现象。秦九韶提出的问题是：如何根据各户实际田亩数量，公平合理地分配国家赋税任务？

这是一道赋税公平分配问题，核心思想是按田亩面积比例分摊税额，本质是一个加权平均和等差分配问题。

均田分税示意图

均田分税：按田亩面积比例公平分配赋税，大户多出、小户少出。

假设某州有 $n$ 户人家，第 $i$ 户拥有田亩 $a_i$ 亩，全州总田亩为 $S = \sum_{i=1}^{n} a_i$ ，应缴赋税总额为 $T$ 石。

第一步：计算每户的平均负担能力

每户平均田亩：

\bar{a} = \frac{S}{n} \qquad (1)

第二步：按比例分配赋税

第 $i$ 户应缴赋税：

t_i = \frac{a_i}{S} \cdot T \qquad (2)

这就是按田亩面积比例分摊赋税的核心公式。

若田亩本身成等差数列分布，设首户田亩 $a_1$ ，末户田亩 $a_n$ ，公差为 $d$ ，则：

S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \qquad (3)

第 $i$ 户田亩为：

a_i = a_1 + (i-1)d \qquad (4)

代入
(2) 得每户应缴税额：

t_i = \frac{a_1 + (i-1)d}{\frac{n(a_1+a_n)}{2}} \cdot T \qquad (5)

术文："以总田亩为实，以总户数为法除之，得每户平均田亩。又以田多寡为差，立等差数列，按田亩多少分配赋税。"

意思是：先用总田亩除以总户数得到平均田亩，然后建立等差数列模型，按各户田亩在数列中的位置比例分配赋税。

现代统计学中，这本质是一个加权平均问题。每户应缴税额等于总税额乘以该户田亩占总面积的比例权重：

t_i = w_i \cdot T, \quad w_i = \frac{a_i}{\sum_{j=1}^{n} a_j} \qquad (6)

公平性的数学定义：若分配满足 $\sum t_i = T$ 且 $t_i / a_i$ 为常数（即税负率相同），则为公平分配。

可以定义税负公平度的量化指标——赋税率的方差：

\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{t_i}{a_i} - \bar{r}\right)^2 \qquad (7)

其中 $\bar{r} = T/S$ 是平均税率。按面积比例分配时 $\sigma^2 = 0$ ，达到最大公平。

若每户固定缴税 $T/n$ ，则小户税率远高于大户，公平度为零。均田分税法的进步性在于：税负与负担能力成正比。

本题对应高中数学必修第二册·等差数列和选择性必修第三册·概率与统计。

思想延伸：均田分税体现了比例分配的数学思想——将总量按各部分所占比例分配，这是加权平均的核心应用。在经济学中，这与"量能课税"原则完全一致。

运算练兵场：等差数列求和、比例计算、加权平均，都是高中代数运算的基本功。

综合题常客：高考中"资源分配""利润分摊"等问题与此同源。

学生容易混淆"平均田亩"和"每户应纳税额"。 $\bar{a}$ 是统计平均值，而 $t_i$ 是个体应纳税额，二者量纲不同（前者是亩，后者是石）。

秦九韶用等差数列和比例分配解决赋税公平问题，体现了"量能课税"的数学智慧，与现代加权平均思想完全一致。

— Y. · 2026-11-16