望敌远近——一根表，一眼定敌营

原典

敌军处北山下原，不知相去远近。乃于平地立一表，高四尺，人退表九百步，遥望山原，适与表端参合。人目高四尺八寸，步法五尺。欲知敌军相去几何？

答曰：相去十二里半。

术曰：置人目高减表高余为法。置退表步以步法通寸，乘表高为实。实如法而一得相去寸，以步法约之为步，以里法约之为里。

草曰：置人目高四尺八寸减表高四尺余八寸为法。置退表九百步以步法五十寸通之得四万五千寸，乘表高四十寸得一百八十万寸为实。如法八寸而一得二十二万五千寸，以步法五十寸约之得四千五百步为相去步。以里法三百六十步约之得十二里半为敌去表所，合问。

这道题说的是什么

一支部队扎营，想知道敌营离自己多远。远近未知、不可亲量，中间还隔着雷区或者河。

办法是：在驻地竖一根四尺高的表，人往后撤九百步，回头看敌营方向——让敌营地平线上的某一点，正好与表的顶端在一条视线上。

有了这条线，剩下的全是除法。

这是《数书九章》测望类九题里体量最小的一题：一根表、一次瞄准、一步测量。讲过的重差术要两根表、两次观测才解出两个未知量；这里只求一个距离，所以一次观测就够。

但真正值得讲的是它的机关。 整个算法用到的信息只有两个：人眼比表端高出的那 8 寸，以及表高 40 寸。表高给出「视线的高度」，8 寸给出「视线下探的速率」。两者一除，敌营距离就出来了。

示意图

眼 O、表端 T、敌营地平点 E 三点共线。眼比表端高 8 寸，这 8 寸在 900 步内被走完并继续下探了整整一个表高——两个相似的直角三角形，一对 8/90000，一对 40/x。

古人的算法

四个数字先摆清

量	数值
表高	4 尺 = 40 寸
人目高	4 尺 8 寸 = 48 寸
退表	900 步
步法	50 寸/步
里法	360 步/里

第一步：求「法」

术文说「置人目高减表高余为法」：

$$48 - 40 = 8 \text{ 寸}$$

这 8 寸是题眼。它表示：人眼在表端正上方 8 寸处，视线从眼睛出发，要往下压过 8 寸才追平表端。

古人把「眼高减表高」这个差叫法——除法里的除数。它决定了视线下探的速率：8 寸这个数越小，视线越接近水平，同样的距离里下探越慢；越大则越陡。

第二步：求「实」

术文说「置退表步以步法通寸，乘表高为实」：

$$900 \text{ 步} \times 50 \text{ 寸/步} = 45000 \text{ 寸}$$ $$45000 \times 40 = 1800000 \text{ 寸}^2$$

把 900 步按步法化成 45000 寸，再乘表高 40 寸。这个乘积量纲是寸²，因为它不是长度，而是比例关系。草文里管一切被除数叫「实」、除数叫「法」，都是算筹布式的术语。

第三步：「实如法而一」

$$1800000 \div 8 = 225000 \text{ 寸}$$

以步法约：

$$225000 \div 50 = 4500 \text{ 步}$$

以里法约：

$$4500 \div 360 = 12.5 \text{ 里}$$

得 十二里半，与答曰合。

四个数字怎么对上的

步骤	算式	结果
法	$48 - 40$	8 寸
相去（寸）	$900 \times 50 \times 40 \div 8$	225,000 寸
相去（步）	$225000 \div 50$	4,500 步
相去（里）	$4500 \div 360$	12.5 里 ✅

为什么这三步是对的

把几何摊开。设敌营地平点 $E$ 距表脚为 $x$，表高 $h = 40$ 寸，眼高 $g = 48$ 寸，人退表 $d = 45000$ 寸。

三点共线：眼 $O$、表端 $T$、敌营地平点 $E$。

注意视线的走向：从眼睛出发，先经过表端，然后继续下探——因为表高 40 寸低于眼高 48 寸，而敌营在地平（高度 0）。所以这条线一路向下，穿过了 $T$，最终落到 $E$。

这就在同一条直线上形成了两对相似的直角三角形：

第一对——人眼到表端：竖直差 $g - h = 8$ 寸，水平距 $d = 45000$ 寸。

第二对——人眼到敌营地平点：竖直差 $g = 48$ 寸，水平距 $d + x$。

两对同式（都是同一条直线与竖直、水平方向构成的角），于是对应边成比例：

$$\frac{g - h}{d} = \frac{g}{d + x}$$

交叉相乘：

$$(g - h)(d + x) = g d$$

展开：

$$(g - h) d + (g - h) x = g d$$

移项：

$$(g - h) x = g d - (g - h) d = h d$$

于是：

$$x = \frac{h \cdot d}{g - h} = \frac{40 \times 45000}{8} = 225000 \text{ 寸}$$

正是术文的公式。 代回验算：

$$x = 225000 \text{ 寸} = 4500 \text{ 步} = 12.5 \text{ 里} ✅$$

术文的「实」=$h \cdot d$、「法」=$g-h$，除法得出的就是 $x$。三步运算与相似三角形的推导严丝合缝。

现代数学视角

一次方程与相似三角形

不看古文，这是一个标准的相似三角形问题：

$$x = \frac{h\,d}{g - h}$$

两个未知量（$x$ 和 $g$）本需两个方程，但 $g$ 可以量出来（人目高是已知常数），所以只剩一个未知量，一次观测、一个方程就够。这就是只需要一根表的原因。

为什么对差值极敏感

$x$ 的分母是 $g - h = 8$ 寸。这意味着如果眼高测量差 1 寸，结果会大幅变化：

$$x = \frac{40 \times 45000}{7} \approx 257143 \text{ 寸} = 5143 \text{ 步} \approx 14.3 \text{ 里}$$ $$x = \frac{40 \times 45000}{9} = 200000 \text{ 寸} = 4000 \text{ 步} \approx 11.1 \text{ 里}$$

眼高只差 1 寸，算出 12.5 里变成 14.3 里或 11.1 里——凭空多出或少掉整整一里多。 这解释了为什么古人选表高 4 尺、眼高 4.8 寸——差 8 寸，既不太小（视线太陡，望远镜角度难以稳定）也不太大（灵敏度降得过低）。这又是一个灵敏度-稳健性权衡的设计实例。

与重差术的关系

本题的结构可以看成重差术的特例：当只需要一个距离、且另一个未知量（眼高）可以预知时，两次观测退化为一次、两根表退化为一根。

测望类九题是同一个思想的不同复杂度版本。 从这一题入门，再看后面要两根表、甚至要炬尺的多观测题，会发现万变不离「两条视线求一个交点」。

高中课本关联

知识点定位：

• 相似三角形：本题的数学内核，对应初中几何
• 解三角形：若改用角度描述，就是正切的应用
• 方程与分式：术文三步可直接翻译成代数式

对应课本例题

课本里同类问题通常这样出：

为测量河对岸目标 $A$ 的距离，在此岸岸边立一标杆 $BC$，高 2 米。人沿岸边后退 10 米至 $D$，眼看 $A$ 与杆顶 $C$ 对齐（人眼高 1.5 米）。求河宽。

设河宽 $x$、杆高 $h$、眼高 $g$、后退 $d$。由相似三角形：

$$\frac{g - h}{d} = \frac{g}{d + x} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{h\,d}{g - h}$$

代入：$x = \dfrac{2 \times 10}{1.5 - 2}$——分母为负，说明人退得不够远，若 $g < h$（眼低于杆顶），几何关系不成立。必须选合适的表高，或让观测点足够低。这正是本题的隐含条件。

一个可以直接告诉学生的事实：古人用「目高 - 表高」这个差值，而不是直接测量角度，这让整个测量只需要杆、绳、步量——没有一件光学仪器。

思考与拓展

基础题：

把本题数字换掉：表高 3 尺，人目高 4 尺 6 寸，退表 600 步。求相去步数与里数。

提示：法 = 46 − 30 = 16 寸；实 = 600 × 50 × 30 = 900,000；相去 = 900,000 ÷ 16 = 56,250 寸 = 1125 步 = 3 里 45 步。

进阶题（灵敏度）：

本题中，若人目高量错 1 寸，结果差多少？这解释了古人为什么选 8 寸的差值？

提示：$x = \dfrac{40 \times 45000}{g - 40}$，$g$ 从 47、48、49 分别算，看结果的相对变化。 这解释了古人选 4 尺表、4 尺 8 寸眼——差值既不太大也不太小，兼顾了可观测性与稳定性。

挑战题（退化）：

若 $g = h$（眼高恰好等于表高），会发生什么？这说明重差术对数据有什么要求？

提示：法为 0，公式失效。因为三条线重合。所以表必须低于眼，眼与表的差是整个算法的驱动力。

开放题（古今对比）：

激光测距仪的误差源与本题的误差源分别是什么？哪种更可靠？

提示：本题的误差源包括目高估读、表高丈量、视线参合的判断。激光测距仪的误差主要来自大气折射与仪器对准。 有趣的是两者的误差结构相似：都对「短边」的读数极敏感。

一句话总结

一根表、一眼望、三步算——秦九韶把「看过去」变成「除一下」。测望类最轻的一题，却把重差术的骨架露得最清楚：全部机关，就在人眼高出表端的那八寸。