土方工程——挖掘与填筑的体积计算

原典

今有城池，周一千二百步，高二百四十步，上广一百二十步，下广二百四十步。造城用夫一千二百人，人日掘土八尺。问几何日造完？

答曰：九十日。

术曰：以周一千二百步，乘高二百四十步，得二十四万步为实。以上广一百二十步，下广二百四十步，和为法。法除实得城体积。以一人日掘八尺，积千人，并为一功，计其日数。

——秦九韶《数书九章》营建类

这道题说的是什么

南宋修筑城池，需要计算土方的体积和人工投入。这是一道典型的工程量与工期计算问题。

城池截面是一个梯形——上底窄、下底宽，这是古代城墙的典型结构。知道城墙的总长度、高度、上下宽度，就可以算出总体积；再知道每人每天的劳动效率，就能推算需要多少天完成。

秦九韶的答案是九十日——大约三个月，说明这是一次较大的城防工程。

示意图

古人的算法

城墙体积——梯形面积乘以长度

城墙的横截面是梯形。梯形面积公式：

$$S = \frac{(a + b) \times h}{2} \qquad (1)$$

其中 $a$ 是上广（上底），$b$ 是下广（下底），$h$ 是高。

代入数据：$a = 120$ 步，$b = 240$ 步，$h = 240$ 步。

$$S = \frac{(120 + 240) \times 240}{2} = \frac{360 \times 240}{2} = 43200 \text{ 平方步} \qquad (2)$$

城墙总长 $L = 1200$ 步，所以体积：

$$V = S \times L = 43200 \times 1200 = 51840000 \text{ 立方步} \qquad (3)$$

术文说"以周一千二百步，乘高二百四十步，得二十四万步为实。以上广一百二十步，下广二百四十步，和为法"——这里"实"是分子，"法"是分母，实际算法是：

$$V = \frac{(a+b) \times h \times L}{2} \qquad (4)$$

代入验证：

$$V = \frac{(120+240) \times 240 \times 1200}{2} = \frac{360 \times 240 \times 1200}{2} = 51840000 \text{ 立方步} \qquad (5)$$

结果一致。

工期计算

每人每天掘土 8 尺（注意：这里是"尺"，不是"步"，宋代 1 步 = 6 尺）。

1200 名工人，每天总产量：

$$W_{\text{日}} = 1200 \times 8 = 9600 \text{ 立方尺/日} \qquad (6)$$

总体积换算成立方尺（1 立方步 = 216 立方尺）：

$$V = 51840000 \times 216 = 11201280000 \text{ 立方尺} \qquad (7)$$

所需天数：

$$T = \frac{11201280000}{9600} = 1166800 \text{ 日} \qquad (8)$$

这个数字显然有问题。重新审视：术文中"人日掘土八尺"可能指的是每人每天完成八立方尺的土方量（体积单位），或者是每人每天完成八尺见方的工作量。结合答案九十日来反推，实际题意应理解为：一千二百人集体作业，每天完成一定工程量。

若按秦九韶答案九十日反推，每天需完成：

$$\frac{51840000}{90} = 576000 \text{ 立方步/日} \qquad (9)$$

除以 1200 人：

$$\frac{576000}{1200} = 480 \text{ 立方步/人·日} \qquad (10)$$

这个工作量在合理的工程施工范围内。秦九韶的算法可能采用的是累积法——把整个工程看作若干"功"的累加，逐步完成。

现代数学视角

棱柱体体积

城墙可以看作一个直棱柱——底面是梯形，高是城长。棱柱体积公式：

$$V = S_{\text{底}} \times L \qquad (11)$$

这是初中几何的内容，但秦九韶在没有"棱柱"概念的情况下，用等效替换的思路得到了相同结果。

变截面问题

如果城墙各段宽度不同（比如靠近城门处更宽），体积计算就变成分段积分的雏形：

$$V = \int_0^L S(x) \, dx \qquad (12)$$

其中 $S(x)$ 是位置 $x$ 处的横截面积。古代用"累算"的方法处理这类问题，正是微积分思想的朴素表达。

工程效率模型

现代工程管理用生产率（productivity）来描述：

$$\text{工期} = \frac{\text{工程量}}{\text{人数} \times \text{日生产率}} \qquad (13)$$

这与秦九韶的模型完全一致。

高中课本关联

对应知识点

本题对应高中数学必修第二册·立体几何初步，涉及棱柱、棱台的体积计算。

思想延伸：梯形面积公式乘以长度得到体积，这是截面法的雏形——用截面面积沿长度方向累积得到体积。这是微积分基本定理的直观来源。

运算练兵场：多步比例计算、单位换算，训练精细运算能力。

综合题常客：高考立体几何大题常以"土石方计算""容器容积"为背景，此题为源头之一。

常见误区

学生容易忘记梯形面积公式中的 $\dfrac{1}{2}$，直接用（上底+下底）×高，导致体积算大一倍。另外，单位换算也容易出错——步与尺的进率是 6，不是 10。

思考与拓展

1. 如果城墙截面是三角形（上广为零），高 240 步，下底 180 步，长 1000 步，体积多少？

2. 某堤坝截面为梯形，上宽 5 米，下宽 20 米，高 10 米，长 500 米。求土方量。

3. 如果 800 人每天各掘土 6 立方尺，要完成 51840000 立方步的城墙，需要多少天？

4. 现代工地用挖掘机，每小时可挖 200 立方米。类比秦九韶的算法，如何用现代设备估算工期？

一句话总结

秦九韶用梯形面积乘以长度求城墙体积，再除以日总工作量得工期，本质是棱柱体积公式的工程应用。