重差术——刘徽测岛的两次观测

原典

今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？

答曰：岛高四里五十五步，去表一百二里一百五十步。

术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者，以前表却行乘表间为实，相多为法，除之，得岛去表数。

这道题说的是什么

一座海岛，不知道它多高、离岸多远。古人的办法是在岸上竖两根一样高的表（标杆），前后相距一千步，让后表、前表、海岛三点在一条直线上。

然后人做两件事：

第一次：从前表向外（远离海岛的方向）退一百二十三步，伏在地上望岛峰，让眼睛、前表顶端、岛峰三点成一直线。

第二次：从后表向外退一百二十七步，同样伏地望岛峰，让眼睛、后表顶端、岛峰三点成一直线。

只凭这两条视线，就能同时求出岛高和它的水平距离。

这道题是中国古代数学最有名的一道。 唐朝人把刘徽《九章算术注》的第十卷单独抽出来成书，就用第一题的「今有望海岛」命名，叫作《海岛算经》。全书九题，全是重差术。

示意图

两表齐高三丈、前后相去千步；前表却行 123 步与后表却行 127 步分别构成两对相似三角形，「相多」4 步是整个算法的枢纽。

古人的算法

先把四个数字摆清楚

量	数值	说明
表高	三丈 = 5 步	「齐高」，两表一样高
表间	1000 步	后表在前表外侧（远离海岛一侧）一千步
前表却行	123 步	第一次观测，人到前表的水平距离
后表却行	127 步	第二次观测，人到后表的水平距离

注意「三丈 = 5 步」。 古代度量衡里 6 尺为 1 步，1 丈 = 10 尺，所以 1 丈 = 10/6 步，三丈正好是 5 步。题目选三丈而不是五尺，就是为了让表高恰好是整数步——这不是巧合，是出题人在迁就算筹。

为什么是「相多」四步

术文里最要紧的两个字是相多，意思是「相减所得的差」。减谁？减两次的后退距离：

$$127 - 123 = 4$$

整个算法都由这 4 步驱动。 表间有 1000 步，后退只差 4 步，所以两条视线相差极微，而测量的恰恰是这个极微的差——差得越小，放大的倍数越高。

这正是「重差」二字的含义：重（两次）之差。

岛去前表的距离

术文说：「以求前表去岛远近者，以前表却行乘表间为实，相多为法，除之，得岛去表数。」

写成现代式子：

$$x = \frac{123 \times 1000}{127 - 123} = \frac{123000}{4} = 30750 \text{ 步}$$

折成里（1 里 = 300 步）：

$$30750 = 102 \times 300 + 150$$

得 102 里 150 步，与答曰合。

岛高

术文说：「以表高乘表间为实，相多为法，除之，所得加表高，即得岛高。」

注意这里用的是前一条术文里的商——也就是已经求出的岛去前表的距离 30750 步，而不仅仅是表高乘表间。完整地写：

$$\frac{5 \times 1000}{4} = 1250 \text{ 步}$$

再加表高 5 步：

$$H = 1250 + 5 = 1255 \text{ 步}$$

折里：

$$1255 = 4 \times 300 + 55$$

得 4 里 55 步，与答曰合。

四个数字怎么对上的

所求	算式	结果	答曰
岛去前表	$123 \times 1000 \div 4$	30750 步 = 102 里 150 步	✅
岛高	$5 \times 1000 \div 4 + 5$	1255 步 = 4 里 55 步	✅

这里有个容易被忽略的细节：求岛高时为什么要加表高？因为第一次观测时人伏在地上、眼高为 0，视线从地面出发经过前表顶端。岛高是从海面算起的，而公式算出的 1250 步是「岛峰高出前表顶端的那部分」，所以要把表高补回去。

为什么公式是对的

用相似三角形说清楚。设岛峰距前表水平距离为 $x$，岛高为 $H$，表高 $h = 5$。

第一次观测，人距前表 $a_1 = 123$ 步，眼高 0，视线过人眼、前表顶、岛峰：

$$\frac{H}{x + a_1} = \frac{h}{a_1}$$

第二次观测，人距后表 $a_2 = 127$ 步，而後表在前表外侧 $d = 1000$ 步处，所以人眼到岛峰的水平距离是 $x + d + a_2$：

$$\frac{H}{x + d + a_2} = \frac{h}{a_2}$$

两式相除消去 $H$：

$$\frac{x + a_1}{a_1} = \frac{x + d + a_2}{a_2}$$

交叉相乘：

$$a_2 x + a_2 a_1 = a_1 x + a_1 d + a_1 a_2$$

两边消去 $a_1 a_2$，得：

$$x(a_2 - a_1) = a_1 d$$

于是：

$$x = \frac{a_1 d}{a_2 - a_1} = \frac{123 \times 1000}{4} = 30750$$

正是术文的公式。 代回第一式求 $H$：

$$H = \frac{h(x + a_1)}{a_1} = \frac{5 \times (30750 + 123)}{123} = \frac{5 \times 30873}{123} = 1255$$

也合。

现代数学视角

这就是「两次交会」

现代测量学要测一个不可直达点的三维位置，靠的是交会——从两个已知点各测一个角度或距离，两条直线/双曲线的交点就是目标。

重差术做的正是这件事，只不过它测的不是角度，而是距离：

• 已知点：两根表的位置和高度
• 观测量：人伏地处到表的水平距离
• 约束：视线三点共线（等价于测了一个角度，但古人用相似三角形把这个角度条件转成了距离关系）

所以刘徽不需要任何角度概念，只用相似三角形就完成了三角测量的全部工作。

表高和表间为什么这么选

表高三丈 = 5 步、表间 1000 步、后退差只有 4 步。这组数字的放大倍数是：

$$\frac{d}{a_2 - a_1} = \frac{1000}{4} = 250$$

也就是说，测量 123 步和 127 步这种几十上百步量级的距离，误差哪怕有半步，算出的岛距就会偏 $0.5 \times 250 = 125$ 步。古人选 4 步而不是 40 步，是把灵敏度拉满了。

代价是脆。后来李淳风注《海岛算经》时就讨论过这类问题的精度取舍，这正是实验设计的思想。

GPS 的祖先

GPS 定位靠四颗卫星，每颗给出一个距离（通过时间差换算），四个球面的交点就是接收机位置。

重差术是两次观测、两个约束，解两个未知量（岛高和岛距）——数学结构和 GPS 同源，只是古人手里只有算筹和相似三角形。

和秦九韶的关系

刘徽《海岛算经》成书于魏景元四年（263 年）。秦九韶《数书九章》成书于淳祐七年（1247 年），比它晚了近一千年。秦九韶在《数书九章》卷四设「测望类」，取九题，用的全是重差术，并在刘徽基础上推广到更复杂的场景。

四库馆臣为《数书九章》所作的提要里说得很清楚：

按测望之法见于晋刘徽海岛算经，原名重差，其书一卷九题，法简数密。此卷本其法而扩充之。

所以这一讲是《数书九章》测望类的源头。 刘徽先立起两根表，一千年后秦九韶接着往下走。

高中课本关联

知识点定位：

• 相似三角形：本题的全部代数都建立在相似三角形对应边成比例上
• 解三角形：若改用角度描述，就是正弦定理/正切的应用
• 方程思想：两个观测给出两个方程，消元解出两个未知量

高考考法：

「测量不可达目标」是高考应用题的经典母题。现代版本通常给仰角：

在山脚 $A$ 处测得山顶仰角为 $\alpha$，前进 $d$ 米到 $B$ 处再测得仰角为 $\beta$，求山高。

设山高 $h$、山脚到 $B$ 的距离 $x$：

$$\frac{h}{x + d} = \tan\alpha, \qquad \frac{h}{x} = \tan\beta$$

消去 $x$ 得 $h = \dfrac{d \tan\alpha \tan\beta}{\tan\alpha - \tan\beta}$。

把 $\tan\theta$ 换成相似三角形的比例，就是重差术。 古人的高明在于不需要「角」这个概念，只用表高和距离就完成了等价计算。

一个可以直接告诉学生的事实：用相似三角形求高度，不必量任何角度，误差只来自距离测量。这比用量角器的方案可靠得多。

思考与拓展

基础题：

两表高 6 米，表间 30 米。从前表退 10 米望目标与表顶齐，从后表退 12 米望目标与表顶齐。求目标高度和它到前表的距离。

提示：后退差 2 米。目标距前表 $= 10 \times 30 \div 2 = 150$ 米；目标高 $= 6 \times 30 \div 2 + 6 = 96$ 米。

进阶题：

如果两次观测的后退距离完全相同（$a_1 = a_2$），会发生什么？这说明重差术对数据有什么要求？

提示：分母为 0，公式失效。因为两条视线重合，无法区分远近。重差术的前提是两次观测必须不同。

挑战题：

只立一根表、观测一次，能否求出目标的高度和距离？为什么？

提示：一个方程、两个未知量，无法唯一确定。最少需要两根表、两次观测——这正是「重差」之「重」的含义。

开放题：

古人用「相多 4 步」换取 250 倍灵敏度。如果让你重做这道题，你会怎么设计表高、表间和后退距离，让结果又准又不那么脆弱？

提示：考虑误差传播。后退差越小灵敏度越高，但对测量误差越敏感。最优设计要在灵敏度和稳健性之间折中——这是现代实验设计的核心问题。

一句话总结

两根表、四次距离、一个四步之差——刘徽用相似三角形把「测不到的高」换算成一串乘除，这是中国古代数学对世界测量学最硬的一份贡献。