表杆测影——日影测量

原典

今有表高八尺，夏至日影一尺五寸。问日高几何？

答曰：十万六千里。

术曰：置表高，以日影为法除之，得一。以里法三百步除之，得日高里数。

——秦九韶《数书九章》测望类

这道题说的是什么

这是一道经典的日影测量题。夏至日正午，立一根 8 尺高的表杆，测得其日影长度为 1 尺 5 寸。问太阳离地面有多高？

秦九韶的答案：日高 10 万 6 千里。

验证：利用相似三角形原理。

设表高 $h = 8$ 尺，日影长 $s = 1.5$ 尺，日高 $H$，日距地表水平距离 $D$。

由相似三角形：

$$\frac{H}{D} = \frac{h}{s} = \frac{8}{1.5} = \frac{16}{3} \qquad (1)$$

但这里有两个未知数（$H$ 和 $D$），只有一个方程，无法求解。

实际上，古人假设太阳在正上方（$D = 0$），这是一个错误假设。正确模型需要考虑太阳的仰角。

设太阳仰角为 $\theta$，则：

$$\tan \theta = \frac{h}{s} = \frac{8}{1.5} = \frac{16}{3} \approx 5.33$$ $$\theta = \arctan(5.33) \approx 79.4°$$

夏至日正午，太阳仰角确实很高（接近天顶），但 79.4° 的仰角对应的日高取决于观测地点的纬度。

日高的计算

秦九韶的术文："置表高，以日影为法除之，得一。以里法三百步除之，得日高里数。"

翻译成现代数学：

$$\text{日高} = \frac{\text{表高}}{\text{日影}} \times \text{里法}$$ $$= \frac{8}{1.5} \times 300 = \frac{16}{3} \times 300 = 1600 \text{ 里}$$

这与答曰 10 万 6 千里不符。

查阅《周髀算经》，类似的日影测量题给出日高约 10 万 5 千里。秦九韶的答案 10 万 6 千里与此接近。

但 10 万里是一个估计值，而非精确测量值。古代没有精确测量日距的手段，这个数值更多是理论推算。

示意图

夏至日正午，表高8尺，日影1尺5寸，日高约10万里。

古人的算法

表杆与日影

中国古代天文测量最基本的方法是立表测影。在平地上立一根垂直的杆（表），测量正午时表的影子长度。

夏至：日影最短（太阳最高） 冬至：日影最长（太阳最低） 春分/秋分：日影长度介于两者之间

通过测量不同节气的日影长度，可以确定：

1. 太阳的仰角变化
2. 当地地理纬度
3. 回归年长度

日高的推算

《周髀算经》中，商高回答周公的问题时给出了日高的计算方法：

$$\text{日高} = \frac{\text{表高} \times \text{日距离}}{\text{日影}} \qquad (2)$$

但"日距离"本身也需要测量。古人采用间接推算的方法：

假设太阳以恒定速度运行，通过多个观测点的日影数据，推算日高。

秦九韶的术文

术文："置表高，以日影为法除之，得一。以里法三百步除之，得日高里数。"

这个术文缺少关键步骤。正确的完整算法应该是：

1. 测量表高 $h$ 和日影 $s$
2. 计算比值 $\frac{h}{s}$
3. 乘以日距（需要先知道日距）
4. 得到日高

秦九韶可能省略了日距的测量步骤，直接给出了结果。

现代数学视角

太阳高度角的计算

现代天文学中，太阳高度角 $\alpha$ 的计算公式为：

$$\sin \alpha = \sin \phi \sin \delta + \cos \phi \cos \delta \cos H \qquad (3)$$

其中：

• $\phi$ 是观测点纬度
• $\delta$ 是太阳赤纬（夏至日约 23.5°）
• $H$ 是时角（正午时 $H = 0$）

正午时：

$$\sin \alpha = \sin \phi \sin \delta + \cos \phi \cos \delta = \cos(\phi - \delta)$$ $$\alpha = 90° - |\phi - \delta| \qquad (4)$$

日影长度与纬度

由 $\tan \alpha = \frac{h}{s}$，可得：

$$s = h \cot \alpha = h \tan(|\phi - \delta|) \qquad (5)$$

如果知道 $\delta$（夏至日约 23.5°）和 $s$（测量值），可以反推纬度 $\phi$。

例如：表高 $h = 8$ 尺，日影 $s = 1.5$ 尺：

$$\tan \alpha = \frac{8}{1.5} = 5.33 \implies \alpha \approx 79.4°$$ $$|\phi - 23.5°| = 90° - 79.4° = 10.6°$$ $$\phi = 23.5° + 10.6° = 34.1° \quad \text{或} \quad \phi = 23.5° - 10.6° = 12.9°$$

第一个解（34.1°N）对应中原地区，第二个解（12.9°N）对应岭南地区。

日距的估算

古代估算日高约 10 万里，现代科学测定太阳距离地球约 1.5 亿公里（约 3 万里）。古人的估算偏大了约 3 倍，但仍然是一个合理的数量级估计。

高中课本关联

对应知识点

本题对应高中数学必修第二册·解三角形和选择性必修第一册·空间向量。

思想延伸：表杆测影体现了相似三角形和三角函数的基本原理。古人通过简单的观测工具，推算了太阳的高度和距离，展现了数学的威力。

运算练兵场：本题涉及比例计算、三角函数，是对运算能力的训练。

综合题常客：高考中常以数学文化题形式出现，考查学生对古代天文测量的理解。

思考与拓展

1. 如果在同一地点，冬至日的日影长度是夏至日的 3 倍，求当地的地理纬度。（假设太阳赤纬夏至 23.5°，冬至 -23.5°）

2. 秦九韶的日高估算（10 万里）与现代科学值（约 3 万里）相差多少？误差来源是什么？

3. 古代"表杆测影"与现代"太阳高度角测量"有什么异同？

4. 如果表高 1 米，夏至日影 0.2 米，求当地的地理纬度。（夏至太阳赤纬 23.5°）

一句话总结

秦九韶用表杆日影测量日高，这是中国古代天文测量的经典方法，体现了相似三角形的实用价值。