曲田求积——曲线形田的面积

原典

今有曲田，周回不规则，有旁斜两角，欲知其积几何？

答曰：依分段截算，合为全积。

术曰：以直代曲，分段求积，累加得之。

——秦九韶《数书九章》田域类

这道题说的是什么

这块田不是标准几何形——边界是弯曲的，甚至带两个斜角（突出的尖角），没法直接套圆田、方田或箕田的公式。秦九韶的处理方式很实用：把曲线边界近似成若干直线段，每段算出直边图形面积，再加总。

这是中国古代数学里"以直代曲"思想的典型应用，比西方微积分的黎曼和思想早了七百多年。

示意图

曲田被分割为若干直边小图，逐段求积后累加。

古人的算法

分段逼近的思想

面对一条曲线边界，秦九韶的做法可以概括为三个步骤：

第一步：选分割点

在曲线上取若干个点，把曲线分成若干小段。每段越短，用直线逼近就越精确。

第二步：以直代曲

每一小段用弦（连接两端的直线段）代替弧。这样整块曲田就被分割成若干直边多边形——三角形、梯形等。

第三步：累加求和

各直边图形面积之和，就是曲田面积的近似值。分割越细，近似越精确。

现代数学语言

设曲线 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上，我们在区间内取分点：

$$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$$

在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，用梯形近似曲边梯形的面积：

$$\Delta S_i = \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \cdot (x_i - x_{i-1}) \qquad (1)$$

总面积：

$$S \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \cdot \Delta x_i \qquad (2)$$

当分点无限加密（$n \to \infty$，$\max \Delta x_i \to 0$），这个和的极限就是定积分：

$$S = \int_a^b f(x) \, dx \qquad (3)$$

秦九韶没有积分符号，但他的"分段求积、累加得之"本质上就是黎曼和的朴素版本。

一个具体例子

假设一块曲田的边界可以用抛物线 $y = -\frac{1}{100}x^2 + 4$ 描述，田的范围在 $x \in [0, 20]$（单位：步）。

分成 4 段，每段宽 5 步：

分点 $x_i$	0	5	10	15	20
$y_i$	4	3.75	3	1.75	0

用梯形法求和：

$$S \approx \frac{4+3.75}{2}\times 5 + \frac{3.75+3}{2}\times 5 + \frac{3+1.75}{2}\times 5 + \frac{1.75+0}{2}\times 5$$ $$= 19.375 + 18.75 + 11.875 + 4.375 = 54.375 \text{ 步}^2$$

精确值（积分）：

$$S = \int_0^{20}\left(-\frac{x^2}{100}+4\right)dx = \left[-\frac{x^3}{300}+4x\right]_0^{20} = -\frac{8000}{300}+80 = \frac{160}{3} \approx 53.33 \text{ 步}^2$$

4 段近似误差约 2%，已经很接近了。如果分成 8 段、16 段，误差会迅速减小。

现代数学视角

从割圆术到积分

"以直代曲"不是秦九韶的发明。早在三国时期，刘徽就用割圆术求圆周率：把圆内接正 $n$ 边形随着 $n$ 增大，逐步逼近圆的面积。秦九韶把同样的思想推广到了任意曲线边界。

刘徽的原话：

"割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。"

这正是极限思想的经典表述。秦九韶的曲田求积，可以看作割圆术在田亩计算中的具体应用。

数值积分的几种方法

后世数学家对"分段求积"发展出了多种方法：

梯形法（秦九韶所用）：每段用梯形面积近似。

辛普森法：每两段用抛物线弧近似，精度更高。对于二次函数，辛普森法给出精确结果。

设 $x_0, x_1, x_2$ 为等距三点，间距 $h$，则：

$$\int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)\right] \qquad (4)$$

矩形法：每段用左端点（或右端点）函数值乘以段宽，最简单但精度最低。

为什么古人不用更精确的方法？

古代没有解析函数和积分符号，"以直代曲"是工程计算中唯一可行的途径。实际田亩测量中，边界本来就不是光滑曲线，而是由丈量者目测确定的折线——用梯形法已经足够精确。

高中课本关联

对应知识点

本题对应高中数学选择性必修第二册·定积分和必修第二册·导数及其应用。

思想延伸："以直代曲、分段求和、取极限得精确值"——这是微积分的基本思想。秦九韶虽然没有极限符号，但他的做法已经触及了微积分的核心。

运算练兵场：梯形法求近似积分，是对代数运算和估算能力的综合训练。

综合题常客：高考中出现过"用梯形公式近似计算曲边梯形面积"的题目，本质就是秦九韶的思路。

高考链接

• 2017年全国卷Ⅲ：近似计算曲边梯形面积
• 2019年全国卷Ⅰ：定积分的几何意义与应用
• 2021年新高考卷：数值积分与误差分析

思考与拓展

1. 用梯形法（4 段）计算 $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ 的近似值，并与精确值（约为 0.7468）比较误差。

2. 用辛普森法（2 段，即 3 个分点）计算 $\int_0^2 x^2\,dx$，结果是多少？与精确值比较。

3. 秦九韶的"以直代曲"和刘徽的"割圆术"有什么共同点？它们与微积分的"无限分割"思想有什么关系？

4. 如果一块曲田的边界由四段圆弧组成（类似花瓣形），你能用秦九韶的方法估算它的面积吗？需要什么额外信息？

一句话总结

秦九韶用"以直代曲、分段累加"处理曲线形田，这一思想比微积分的黎曼和早了七个多世纪。