三斜求积——海伦公式的中国版本

原典

问沙田一段，有三斜。其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲知为田几何？

答曰：田积三百一十五顷。

术曰：以小斜乘大斜，减中斜自乘，半之，为幂。以里法乘积，开方，得积。

这道题说的是什么

有一块三角形沙田，三条边的长度分别是：

• 小斜（最短边）= 13 里
• 中斜 = 14 里
• 大斜（最长边）= 15 里

已知 1 里 = 300 步，问这块田有多少顷？

仅凭三边长求三角形面积，在没有角度的信息下，这不是一件显然的事。秦九韶给出的答案是 315 顷。

示意图

三斜田：小斜 13 里、中斜 14 里、大斜 15 里，面积 84 平方里，合 315 顷。

古人的算法

术文在算什么

这道题的核心一步是求「幂」。幂，是古算里对「方面积」的称呼——这里指的是三角形面积平方前的那个量。

把小斜记作 $a = 13$，中斜记作 $b = 14$，大斜记作 $c = 15$，术文的次序可以拆成：

$$a^2 c^2 - \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}\right)^2$$

先看中间那一项：

$$\frac{13^2 + 15^2 - 14^2}{2} = \frac{169 + 225 - 196}{2} = \frac{198}{2} = 99$$

再看第一项：

$$13^2 \times 15^2 = 169 \times 225 = 38025$$

两数相减，得幂：

$$38025 - 99^2 = 38025 - 9801 = 28224$$

面积是幂开方后的四分之一：

$$S = \frac{\sqrt{28224}}{4} = \frac{168}{4} = 42$$

这里得到的是 42 平方里，还差一半。 原因在于术文里的「半之」在幂之后再除一次，也就是上面这个数还要再除以 4 才是面积：

$$S = \frac{\sqrt{28224}}{4} \times 2 = 84$$

正确的完整算法应写成：

$$S = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}$$

代入：

$$S = \frac{1}{4}\sqrt{4 \times 169 \times 225 - 198^2} = \frac{1}{4}\sqrt{152100 - 39204} = \frac{1}{4}\sqrt{112896}$$ $$S = \frac{1}{4} \times 336 = 84$$

所以这块沙田的面积是 84 平方里。

单位换算是本题的第二道关

84 平方里不是最终答案，题目要的是「顷」。这里的换算链是本题真正考学生的部分。

$$1 \text{ 里} = 300 \text{ 步} \quad\Rightarrow\quad 1 \text{ 平方里} = 300^2 = 90000 \text{ 平方步}$$ $$1 \text{ 亩} = 240 \text{ 步}^2 \quad\Rightarrow\quad 1 \text{ 平方里} = \frac{90000}{240} = 375 \text{ 亩}$$ $$1 \text{ 顷} = 100 \text{ 亩} \quad\Rightarrow\quad 1 \text{ 平方里} = 3.75 \text{ 顷}$$

于是：

$$84 \text{ 平方里} = 84 \times 3.75 = 315 \text{ 顷}$$

与答曰严丝合缝。

用海伦公式复核

今天课本里的海伦公式，形式完全不同：

$$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$$ $$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$$

84，一模一样。 两条路、两种形式、相隔一千年，落在同一个数上。

现代数学视角

两个公式为什么等价

海伦公式与秦九韶公式的等价，可以在代数上看清楚。

海伦公式的根号内是：

$$s(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{16}$$

把后三个因式两两相乘，用平方差整理：

$$(a+b+c)(-a+b+c) = (b+c)^2 - a^2$$ $$(a-b+c)(a+b-c) = a^2 - (b-c)^2$$

设 $P = a^2$，$Q = (b+c)^2$，$R = (b-c)^2$，则根号内等于：

$$\frac{(Q - P)(P - R)}{16}$$

另一方面，秦九韶公式的根号内除以 16 后正是同一结构。两边同乘 16、配方，就得到：

$$4a^2c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2$$

这是同一个多项式的两种因式分解。 一个把四个线性因式摊开，一个把平方项团在一起。秦九韶选后者，因为算筹上做乘方比开四个因式更省事。

一个值得注意的时间差

秦九韶生卒约在 1202—1261 年间，《数书九章》成书于 1247 年。而海伦（Heron of Alexandria）通常定在公元一世纪。从时间上看，是海伦在前、秦九韶在后。 但两者是独立发展的——海伦公式经阿拉伯世界传入欧洲，秦九韶的推导不见任何外来影响的痕迹。

中国数学史里有「早多少年」的说法，多半是独立发明，不是「领先」。这一点讲给学生时要说准：秦九韶的价值不在比海伦早，而在用完全不同的路径抵达同一结论。

高中课本关联

知识点定位：

• 解三角形：已知三边求面积，是余弦定理的反向应用
• 平方差与配方：本题术文推导的全部骨架
• 单位换算：题目明确给出里法三百步，就是在考换算链

高考考法：

近年高考数学文化题常考这一类。典型问法是给出三边长，问用哪个公式；或给出秦九韶术文描述，要求「翻译」成现代式子。

例如：三角形三边为 13、14、15，求面积。直接用海伦公式最省事：

$$S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84$$

13、14、15 这个组合值得记住。 它构成一个 13-14-15 三角形，面积是整数 84，内切圆半径是 4，外接圆半径是 $\frac{65}{8}$——是一组在考题里反复出现的「友好数字」。

思考与拓展

基础题：

三角形三边为 5、12、13，求面积。再用秦九韶公式算一遍，验证两者一致。

提示：这是直角三角形，面积一眼可得 $\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$。用海伦公式：$s = 15$，$S = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2} = \sqrt{900} = 30$。用秦九韶公式也应得 30。

进阶题：

把本题的「里」换成「步」：沙田三斜为 13 步、14 步、15 步，问面积多少平方步？多少亩？

提示：面积仍是 84 平方步（只要三边单位一致）。$84 \div 240 = 0.35$ 亩。对比一下：为什么换成步之后答案这么小？因为「平方里」和「平方步」差 $300^2 = 90000$ 倍。

挑战题：

一个三角形三边为 6、8、10，另一个为 7、24、25。哪个面积大？大多少？不计算，能否直接判断？

提示：两个都是直角三角形（$6^2 + 8^2 = 10^2$，$7^2 + 24^2 = 25^2$）。前者面积 24，后者面积 84。但能否不计算判断？可以考虑：海伦公式里 $s(s-a)(s-b)(s-c)$ 的四个因子，5、6、7、8 的乘积是 1680，18、11、14、19 的乘积远大于此——直接比被开方数即可。

开放题：

为什么秦九韶选择把公式写成「平方差配方」的形式，而海伦写成「四个线性因式连乘」的形式？从算筹运算的角度想，哪种更好算？

提示：算筹做一次乘方（自乘）是一轮操作，四个因子连乘是四轮。在数字大的时候，轮数决定出错概率。这正是算法设计的核心关切。

一句话总结

已知三边求面积，秦九韶用的是平方差配方，海伦用的是四因式连乘——数学形式不同，答案完全相同；而这道题真正的门槛，是最后那道从平方里到顷的三级换算。