斜田求积——梯形田的面积

原典

今有斜田，一头广二十步，一头广二十五步，南北斜长三十步。问为田几何？

答曰：六百七十五步。

术曰：并两头广半之，以乘斜长，得积。

——秦九韶《数书九章》田域类

这道题说的是什么

有一块斜田——形状是梯形（不是平行四边形，题目中"斜"指的是非直角的情形）。

• 一头广（上底）= 20 步
• 一头广（下底）= 25 步
• 斜长（高，即两底之间的垂直距离）= 30 步

秦九韶的答案是 675 步²。

验证：梯形面积公式

$$S = \frac{(20 + 25) \times 30}{2} = \frac{45 \times 30}{2} = 675 \text{ 步}^2$$

完全正确。

为什么叫"斜田"？

《九章算术》方田章中有"圭田"（三角形）、"邪田"（梯形），秦九韶沿用了类似的命名习惯。"斜"指的是梯形的腰不垂直于底边——如果垂直，就成了矩形，不需要特别命名。

在古代田亩测量中，规则形状的田地较少，大多数田地边界不规则，需要将其近似为基本几何图形。斜田是其中相对规则的一种——上下底平行，但腰不垂直。

示意图

斜田（梯形）：上底20步，下底25步，高30步，面积675步²。

古人的算法

术文翻译

术曰：并两头广半之，以乘斜长，得积。

翻译成现代数学：

第一步：并两头广半之——上下底相加，除以 2

$$\frac{20 + 25}{2} = 22.5 \text{ 步}$$

这 22.5 步是梯形的"中位线"长度。

第二步：以乘斜长——乘以高

$$22.5 \times 30 = 675 \text{ 步}^2$$

这就是面积。

割补法证明

把梯形沿中位线剪开，上半部分旋转 180°，与下半部分拼成一个平行四边形：

• 平行四边形的底 = 中位线长度 = $\frac{a+b}{2}$
• 平行四边形的高 = 梯形的高 $h$

所以面积：

$$S = \frac{a+b}{2} \times h \qquad (1)$$

这与秦九韶的术文完全一致。

另一种割补方式

也可以从梯形的一个顶点向对边作垂线，将梯形分割为一个矩形和两个三角形：

$$S = \text{矩形面积} + \text{左三角形面积} + \text{右三角形面积}$$ $$= b \times h + \frac{1}{2} \times a_1 \times h + \frac{1}{2} \times a_2 \times h$$

其中 $a_1 + a_2 = a - b$（假设 $a > b$）。

$$= bh + \frac{1}{2}(a-b)h = \frac{(a+b)h}{2}$$

结果相同。

现代数学视角

向量法推导

设梯形的四个顶点为 $A, B, C, D$，其中 $AB \parallel DC$，$AB = a$，$DC = b$，高为 $h$。

用向量表示：设 $\vec{AB} = \vec{u}$，$\vec{AD} = \vec{v}$，则梯形面积可以用叉乘的绝对值来表示（推广到任意四边形）：

$$S = \frac{1}{2}|\vec{AC} \times \vec{BD}| \qquad (2)$$

对于梯形，这个公式退化为 $\frac{(a+b)h}{2}$。

坐标法推导

设梯形顶点为 $(0,0), (b,0), (x_1,h), (x_1+a,h)$，其中 $a$ 是上底，$b$ 是下底。

用鞋带公式（Shoelace formula）：

$$S = \frac{1}{2}|x_1 h + b \cdot 0 + 0 \cdot h + x_1 \cdot 0 - (0 \cdot b + h \cdot x_1 + h \cdot 0 + 0 \cdot x_1)|$$ $$= \frac{1}{2}|0 + 0 + 0 + 0 - (hx_1 - hx_1)| = \frac{(a+b)h}{2} \qquad (3)$$

积分法推导

将梯形视为由直线 $y = 0$、$y = h$、$x = 0$ 和 $x = b + \frac{a-b}{h}y$ 围成的区域。

用积分计算面积：

$$S = \int_0^h \left(b + \frac{a-b}{h}y\right) dy = \left[by + \frac{a-b}{2h}y^2\right]_0^h$$ $$= bh + \frac{a-b}{2h} \cdot h^2 = bh + \frac{(a-b)h}{2} = \frac{(a+b)h}{2} \qquad (4)$$

三种方法结果一致，验证了公式的正确性。

高中课本关联

对应知识点

本题对应高中数学必修第二册·平面几何和选择性必修第一册·空间向量。

思想延伸：梯形面积公式可以通过平行四边形面积公式推导，体现了化归思想——把未知转化为已知。这是数学解题的核心策略。

运算练兵场：梯形面积公式涉及分数运算，是对代数运算能力的训练。

综合题常客：高考中常以实际应用题出现，如"一块梯形田地，上底…下底…高…求面积"。

易错点

学生容易混淆"斜长"和"腰长"。题目中的"斜长三十步"指的是高（两底之间的垂直距离），不是腰的长度。如果误把斜长当作腰长来计算，就会得到错误结果。

另一个易错点是忘记除以 2。梯形面积是"并两头广半之"——先求平均宽度，再乘以高。漏掉"半之"会得到双倍面积。

思考与拓展

1. 一块斜田，上底 15 步，下底 25 步，高 20 步，面积是多少？

2. 一个梯形的面积是 240 步²，上底 12 步，下底 18 步，求高。

3. 证明：梯形的中位线长度等于上下底之和的一半。

4. 如果一块斜田的上底增加 5 步，下底减少 5 步，高不变，面积如何变化？

5. 秦九韶的"斜田"和《九章算术》的"邪田"有什么区别？查阅《九章算术》方田章，比较两者的算法。

一句话总结

秦九韶用"并两头广半之，以乘斜长"计算斜田面积，这个公式本质上就是现代梯形面积公式。