方田求积——矩形田的面积

原典

今有方田，广十五步，从十六步。问为田几何？

答曰：一亩。

术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

——秦九韶《数书九章》田域类

这道题说的是什么

有一块矩形田地（方田），宽 15 步，长 16 步。问面积是多少？

秦九韶的答案是 1 亩。

验证：矩形面积公式

$$S = \text{长} \times \text{宽} = 16 \times 15 = 240 \text{ 步}^2$$

1 亩 = 240 步²，所以 240 步² = 1 亩 ✓

示意图

方田（矩形）：广15步，从16步，面积240步²=1亩。

古人的算法

术文翻译

第一步：广从步数相乘得积步

$$15 \times 16 = 240 \text{ 步}^2$$

第二步：以亩法二百四十步除之，即亩数

$$240 \div 240 = 1 \text{ 亩}$$

单位换算

秦九韶给出了完整的单位换算体系：

• 1 亩 = 240 步²
• 1 顷 = 100 亩 = 24000 步²

这个单位体系沿用至今，只是现代用"亩"代替了"步²"。

方田的几何意义

"方田"不一定是正方形，而是指矩形田地。"方"在这里是"方形"的意思，包括长方形和正方形。

现代数学视角

矩形面积公式的推导

矩形面积公式是最基本的面积公式，可以通过面积单位来理解：

设矩形的长为 $a$，宽为 $b$，则：

$$S = a \times b$$

这个公式可以通过铺砖法理解：用边长为 1 的小正方形铺满矩形，需要 $a \times b$ 个。

坐标系中的矩形面积

在平面直角坐标系中，设矩形的四个顶点为 $(0,0), (a,0), (a,b), (0,b)$，则面积为：

$$S = \int_0^a \int_0^b dy \, dx = \int_0^a b \, dx = ab$$

高中课本关联

对应知识点

本题对应高中数学必修第二册·立体几何初步和选择性必修一·平面解析几何。

思想延伸：矩形面积公式是面积计算的起点，其他图形的面积公式都可以从这个公式推导出来。

运算练兵场：本题涉及乘法运算、单位换算，是对运算能力的综合训练。

综合题常客：高考中常以实际应用题形式出现，如"矩形土地的面积计算"。

高考链接

• 2015年全国卷Ⅰ：矩形与概率结合
• 2017年全国卷Ⅲ：矩形面积与最值
• 2019年全国卷Ⅱ：矩形与圆的面积关系

思考与拓展

1. 如果一块矩形田地的长是 20 步，宽是 12 步，面积是多少亩？

2. 一块矩形田地的面积是 480 步²，长是 24 步，求宽。

3. 秦九韶的"方田"和现代"矩形"有什么区别？

4. 如果一块矩形田地的长增加 5 步，宽减少 3 步，面积如何变化？

一句话总结

秦九韶用"广从相乘"计算矩形面积，这是最基础的面积公式，也是古代土地测量的基础。