环田求积——圆环形田的面积

原典

今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？

答曰：二亩五十五步。

术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。

——秦九韶《数书九章》田域类

这道题说的是什么

有一块圆环形田地，内圆周长 92 步，外圆周长 122 步，环宽（径）5 步。问面积是多少？

秦九韶的答案是 2 亩 55 步。

验证：圆环面积公式

$$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R+r)(R-r)$$

其中 $R-r = 5$（环宽），$R+r$ 可以通过周长求得。

用古率 $\pi = 3$：

• 外圆直径 $D = \frac{122}{3} \approx 40.67$ 步
• 内圆直径 $d = \frac{92}{3} \approx 30.67$ 步
• $R+r = \frac{D+d}{2} = \frac{40.67+30.67}{2} \approx 35.67$ 步

$$S = 3 \times 35.67 \times 5 \approx 535 \text{ 步}^2$$

但答曰是 2 亩 55 步 = $2 \times 240 + 55 = 535$ 步² ✓

示意图

环田：中周92步，外周122步，径5步，面积535步²=2亩55步。

古人的算法

术文翻译

第一步：并中外周而半之——把内外周长相加，除以2

$$\frac{92 + 122}{2} = \frac{214}{2} = 107 \text{ 步}$$

第二步：以径乘之——乘以环宽

$$107 \times 5 = 535 \text{ 步}^2$$

第三步：亩法而一——转换成亩

$$535 \div 240 = 2 \text{ 亩} \cdots 55 \text{ 步}$$

为什么这个算法正确？

秦九韶的算法等价于：

$$S = \frac{C_1 + C_2}{2} \times w$$

其中 $C_1, C_2$ 是内外周长，$w$ 是环宽。

用现代公式验证：

$$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R+r)(R-r)$$

而 $C_1 = 2\pi R, C_2 = 2\pi r$，所以：

$$\frac{C_1 + C_2}{2} = \pi(R+r)$$ $$S = \pi(R+r)(R-r) = \frac{C_1+C_2}{2} \times w$$

秦九韶的算法完全正确！

圆环的梯形展开

秦九韶的算法可以理解为：把圆环沿半径切开，展开成一个梯形：

• 上底 = 内圆周长 $C_1$
• 下底 = 外圆周长 $C_2$
• 高 = 环宽 $w$

梯形面积 = $\frac{C_1 + C_2}{2} \times w$

这正是秦九韶的算法。

现代数学视角

圆环面积的积分推导

用极坐标积分：

$$S = \int_0^{2\pi} \int_r^R \rho \, d\rho \, d\theta = 2\pi \times \frac{R^2 - r^2}{2} = \pi(R^2 - r^2)$$

圆环面积的近似公式

当环宽 $w = R - r$ 远小于半径时，圆环面积可以近似为：

$$S \approx 2\pi r \times w$$

这正是圆周长乘以环宽，类似于把圆环展开成长方形。

高中课本关联

对应知识点

本题对应高中数学必修第二册·平面解析几何和选择性必修一·空间向量与立体几何。

思想延伸：圆环面积公式体现了整体减去部分的思想——大圆面积减去小圆面积。这是集合论中补集思想的几何体现。

运算练兵场：本题涉及圆周率、平方差公式，是对代数运算能力的综合训练。

综合题常客：高考中常以实际应用题形式出现，如"圆环面积的计算"。

高考链接

• 2016年全国卷Ⅰ：圆与圆环面积结合
• 2018年全国卷Ⅱ：圆环与概率结合
• 2020年全国卷Ⅲ：圆环的最值问题

思考与拓展

1. 如果圆环的外径是 20 步，内径是 10 步，面积是多少？

2. 一个圆环的面积是 100 步²，外径是 12 步，求内径。（用古率π=3）

3. 秦九韶的"并中外周而半之，以径乘之"和现代公式 $S = \pi(R^2-r^2)$ 有什么关系？

4. 如果一块圆环形田地的外周长是 200 步，内周长是 100 步，环宽是 5 步，面积是多少？

一句话总结

秦九韶用"并中外周半之乘径"计算圆环面积，这个公式本质上是把圆环展开成梯形。