圆田求积——圆形田的面积

原典

今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？

答曰：七十五步。

术曰：半周半径相乘得积步。

——秦九韶《数书九章》田域类

这道题说的是什么

有一块圆形田地，周长 30 步，直径 10 步。问面积是多少？

秦九韶的答案是 75 步²。

验证：用现代公式 $S = \pi r^2$，如果取 $\pi = 3$（古率），则：

$$S = 3 \times 5^2 = 75 \text{ 步}^2$$

如果取 $\pi \approx 3.14159$，则：

$$S = \pi \times 5^2 \approx 78.54 \text{ 步}^2$$

秦九韶用古率 $\pi = 3$，误差约 4.5%。

示意图

圆田：周长30步，直径10步，半径5步，面积75步²（古率π=3）。

古人的算法

术文翻译

术曰：半周半径相乘得积步。

翻译成现代数学：

$$S = \frac{C}{2} \times r = \frac{30}{2} \times 5 = 15 \times 5 = 75$$

其中 $C$ 是周长，$r$ 是半径。

为什么叫"半周半径相乘"？

秦九韶没有直接用 $\pi r^2$，而是用 $\frac{C}{2} \times r$。这是因为：

1. 古代测量时，周长容易测量，直径可能不易直接测量
2. $\frac{C}{2} = \pi r$，所以 $\frac{C}{2} \times r = \pi r^2$

这两种表达是等价的，只是侧重点不同。

古率与现代值

秦九韶用古率 $\pi = 3$，而现代值 $\pi \approx 3.14159$。

误差计算：

$$\text{误差} = \frac{75}{78.54} \approx 0.955$$

误差约 4.5%。对于土地测量来说，这个精度已经够用。

现代数学视角

割圆术的思想

刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：用圆内接正多边形逼近圆面积。

设圆内接正 $n$ 边形，边长为 $a_n$，则：

$$S_n = \frac{1}{2} n a_n r$$

当 $n \to \infty$ 时，$S_n \to S$。

刘徽用正 3072 边形算出 $\pi \approx \frac{157}{50} = 3.14$，比秦九韶的精度更高。

圆面积的微积分推导

把圆分成无数个扇形，重新排列成一个近似矩形：

• 矩形的长 = 半周长 = $\pi r$
• 矩形的宽 = 半径 = $r$
• 面积 = $\pi r^2$

高中课本关联

对应知识点

本题对应高中数学必修第二册·平面解析几何和选择性必修一·空间向量与立体几何。

思想延伸：割圆术体现了极限思想——用有限逼近无限。这是微积分的核心思想之一。

运算练兵场：本题涉及圆周率、平方运算，是对运算能力的综合训练。

综合题常客：高考中常以实际应用题形式出现，如"圆形花坛的面积计算"。

高考链接

• 2017年全国卷Ⅱ：圆与三角形面积结合
• 2019年全国卷Ⅲ：圆的面积与概率结合
• 2021年全国卷甲卷：圆的最值问题

思考与拓展

1. 如果圆的直径是 20 步，用古率 $\pi = 3$ 计算面积。与现代值相比，误差多少？

2. 刘徽用正 3072 边形算出 $\pi \approx 3.14$。如果用正 12288 边形，精度会提高到多少？

3. 秦九韶的"半周半径相乘"和现代公式 $S = \pi r^2$ 有什么关系？

4. 如果一块圆形田地的周长是 100 步，面积是多少？（用古率和密率分别计算）

一句话总结

秦九韶用"半周半径相乘"计算圆面积，这是对《九章算术》圆田术的继承，用古率π=3误差约4.5%。