箕田求积——梯形田的面积

原典

今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？

答曰：一亩一百三十五步。

术曰：并踵、舌而半之，以乘正从。亩法而一。

——秦九韶《数书九章》田域类

这道题说的是什么

有一块梯形田地（箕田），上底（舌广）20 步，下底（踵广）5 步，高（正从）30 步。问面积是多少？

秦九韶的答案是 1 亩 135 步。

验证：梯形面积公式

$$S = \frac{(a+b)h}{2} = \frac{(20+5) \times 30}{2} = \frac{25 \times 30}{2} = 375 \text{ 步}^2$$

1 亩 = 240 步²，所以 375 步² = 1 亩 135 步 ✓

示意图

箕田（梯形）：舌广20步，踵广5步，高30步，面积375步²=1亩135步。

古人的算法

术文翻译

第一步：并踵、舌而半之——把上下底相加，除以2

$$\frac{20 + 5}{2} = 12.5 \text{ 步}$$

第二步：以乘正从——乘以高

$$12.5 \times 30 = 375 \text{ 步}^2$$

第三步：亩法而一——除以亩法（240步²）

$$375 \div 240 = 1 \text{ 亩} \cdots 135 \text{ 步}$$

为什么叫"箕田"？

"箕"是簸箕，扬米去糠的工具。梯形上宽下窄，形状像簸箕，所以叫"箕田"。

现代数学视角

割补法证明

把两个全等的梯形拼成一个平行四边形：

• 平行四边形的底 = $a + b$
• 平行四边形的高 = $h$
• 平行四边形的面积 = $(a+b)h$
• 梯形的面积 = $\frac{(a+b)h}{2}$

另一种证明

把梯形分割成一个矩形和两个三角形：

$$S = \text{矩形面积} + \text{左三角形面积} + \text{右三角形面积}$$ $$S = b \cdot h + \frac{1}{2}(a-b)h = bh + \frac{ah-bh}{2} = \frac{2bh + ah - bh}{2} = \frac{(a+b)h}{2}$$

高中课本关联

对应知识点

本题对应高中数学必修第二册·立体几何初步和选择性必修一·平面解析几何。

思想延伸：梯形面积公式的推导体现了化归思想——把未知图形转化为已知图形。这是数学解题的核心策略。

运算练兵场：本题涉及分数运算、单位换算（亩与步²），是对运算能力的综合训练。

综合题常客：高考中常以实际应用题形式出现，如"一块梯形田地，上底x米，下底y米，高z米，求面积或产量"。

高考链接

• 2018年全国卷Ⅲ：梯形面积与概率结合
• 2020年全国卷Ⅰ：梯形折叠问题
• 2022年新高考卷：梯形中的最值问题

思考与拓展

1. 如果梯形的上底是 15 步，下底是 25 步，高是 20 步，面积是多少亩？

2. 一个等腰梯形的腰长 10 步，上底 12 步，下底 20 步，求面积。（提示：先求高）

3. 秦九韶的"箕田"和《九章算术》的"箕田"有什么区别？查阅《九章算术》方田章，比较两者的算法。

4. 如果一块梯形田地的上底增加 5 步，下底减少 5 步，高不变，面积如何变化？

一句话总结

秦九韶用"并踵舌半之乘正从"计算梯形面积，这个公式与现代梯形面积公式完全一致。