少广·第11题：田广再加十二分之一，求从几何

原文

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问：从几何？

答曰：七十七步、八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。

术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步。

白话翻译

现在有一块田，宽为一步半，再加三分之一到十二分之一的分步，要凑成一亩，问从是多少？

答案是 77 步又八万六千二十一分之二万九千一百八十三步。

术文的意思是，分母有 12，就把 1 步当作 83160，半步当作 41580，三分之一当作 27720，依次类推，十二分之一当作 6930，相加得 258063 作为法。240 步乘以 83160 得 19958400 作为实。实除以法，得到从。

示意图

图注：少广章第11题：少广术示意图

数学解读

一、术文这一次的倍数比最小公倍数大 3 倍

最小公倍数 $\mathrm{lcm}(1,\ldots,12) = 27720$，与上一讲完全相同，因为 12 的质因子 2 和 3 都已被覆盖。

但术文取的是 83160，是 27720 的 3 倍。

$83160 = 27720 \times 3$

为什么可以取大。因为通分倍数无论放大多少倍，分子和与实同比例放大，商不变。

$\frac{240 \times 83160}{258063} = \frac{240 \times 27720}{86021}$

两式结果完全相同。术文取 83160，只是让每一项都变成整数，并不追求最小。

二、法与实的规模

$\text{法} = 258063, \qquad \text{实} = 240 \times 83160 = 19958400$

$\text{从} = \frac{19958400}{258063} = 77\frac{29183}{86021}$

约分时分子分母同除 3，得最简形式 $\frac{29183}{86021}$。

三、86021 与 29183 的来历

86021 是约分后的分母，来自 $258063 \div 3$。这两个数都与题目里的分母没有直接关系。

到这里应该说清一件事，答案的分母是运算的产物，不是题目的输入。读者若拿题目里的分母去猜答案分母，一定会猜错。

四、少广术的收尾

这是少广术的最后一讲，分母到 12 为止。为什么不往后做了。

因为分母再多一个（13），通分倍数要再乘 13，实会到两亿多。算筹摆不下，也没有必要。

《九章》选择在 12 停下，恰好是「一年十二月」的数，也可能是刻意的。无论哪种，这个终止点是工程判断，不是数学限制。

高中课本关联

知识点定位：

• 初中数学：公倍数与最小公倍数的区别
• 初中数学：约分与最简分数
• 人教A版必修第一册：运算的整体性（同时放大不改变结果）

高考考法：

「同时放大不改变商」在求极限、化简分式时反复使用。看到分子分母同阶时同时除以最高次幂，本质与本讲一致。

易错点： 以为通分倍数必须最小，看到术文取 83160 而 27720 也行就以为原文写错了。两数都合法。

思考与拓展

1. 基础

术文取 83160，若改用 27720，法是多少？

答：法为 $86021$，实为 $240 \times 27720 = 6652800$，商与本讲相同。

2. 进阶

验证 $77\frac{29183}{86021}$ 乘以 $\frac{86021}{27720}$ 等于 240。

答：$\frac{6652800}{86021} \times \frac{86021}{27720} = 240$，成立。

3. 拓展

若分母继续加到 13，估算通分倍数与实的大小，判断古代算筹是否可行，并给出你的理由。

答：倍数 $27720 \times 13 = 360360$，实 $240 \times 360360 = 86486400$，约八千六百万。以算筹操作的实际效率，这个规模已超出可行范围。

一句话总结

十二的质因子全被覆盖，倍数可选 27720 也可选 83160，商都一样；少广术到十二分母收尾，是工程判断不是数学极限。