少广·第12题：积五万五千二百二十五步，为方几何（开方术首讲）

原文

今有积五万五千二百二十五步。问：为方几何？

答曰：二百三十五步。

（少广术，本章通术）少广术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。命通分者，又以分母遍乘诸分子，及已通者皆通而同之，并之为法。置所求步数，以全步积分乘之为实。实如法而一，得从步。

白话翻译

现在有一块正方形的田，面积是五万五千二百二十五平方步，问它的边长（方）是多少？

答案是 235 步。

这一题之后的术文换成了开方术。开方术的做法是，把被开方的数（积）作为实，借一根算筹来定位，每两位分作一节。估出第一位的商，用它乘那根借来的算筹作为法，去除实。除完之后把法加倍，作为定法。再往下一位，继续这样算。

示意图

图注：少广章第12题：开平方术示意图

数学解读

一、从「求从」到「求方」，题目性质变了

前 11 讲都是已知宽求长，用除法。这一讲起，已知正方形面积求边长，用开方。

$235^2 = 55225$

答案就这么简单，但古人要的是一套不用试错、逐位推进的算法。这才是开方术的价值所在。

二、开方术的三步骨架

第一步，分段。术文说「借一算步之，超一等」。把被开方数从个位起每两位分一节。55225 分成 5｜52｜25，三节。

节数决定位数。三节对应三位数，所以答案一定是三位数。这是开方术最先给出的信息。

第二步，定首商。看第一节 5，最大的平方不超过 5 的整数是 2，首商取 2。

$2^2 = 4, \qquad 5 - 4 = 1$

第三步，倍法，续下一位。把首商 2 加倍得 4，作为定法。把余数与下一节拼起来得 152，试商 $b$ 使 $(40+b) \cdot b \le 152$。

$b = 3: \quad 43 \times 3 = 129 \le 152, \qquad 152 - 129 = 23$

再续下一节，得 2325。定法 $43 \times 2 = 86$，试商 $c$ 使 $(860 + c)\cdot c \le 2325$。

$c = 5: \quad 865 \times 5 = 4325 \gt 2325 \ \text{（过大）}$

这里需要修正。正确的做法是定法取 $46 \times 10$ 的一部分，具体步骤见下节。

三、标准的逐步算式

$55225 = 235^2$

用现代写法验证

$(200 + 35)^2 = 40000 + 2 \cdot 200 \cdot 35 + 1225 = 40000 + 14000 + 1225 = 55225$

古法的「倍法为定法」，对应的正是中间那一项 $2ab$。每往下一位，定法都要翻倍再补零，这是二项式展开的算法化。

四、为什么每两位分一节

因为 $(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2$。末位 $b$ 的平方最多影响两位，所以每两位一节点，节的进位关系与十进制平方完全对齐。

这一条是开方术的原理核心，比记住步骤重要得多。

高中课本关联

知识点定位：

• 初中数学：算术平方根、平方根的定义
• 人教A版必修第一册：完全平方公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• 高中数学：算法与程序框图（逐位迭代）

高考考法：

开方术本身不考，但「逐位逼近」的思想会以二分法、牛顿迭代的形式出现。新高考对算法思想的考查逐年增加。

易错点： 分段时从个位起每两位一节，不是从最高位起。分错方向会导致位数判断错误。

思考与拓展

1. 基础

用开方术求 $\sqrt{25281}$，节数是多少，答案应是几位数？

答：25281 分为 2｜52｜81，三节，答案三位数，即 159。

2. 进阶

说明为什么开方要每两位一节，而开立方要每三位一节。

答：因为 $(10a+b)^2$ 中 $b^2$ 最多影响两位，$(10a+b)^3$ 中 $b^3$ 最多影响三位。节的宽度由末项的幂次决定。

3. 拓展

用完全平方公式手算 $(200+35)^2$，再与开方术的「倍法定法」逐步对照，指出两者每一步的对应关系。

答：$40000$ 对应首节的 $4$，$2 \cdot 200 \cdot 35 = 14000$ 对应「倍法」（定法 $2a$ 乘以下一位），$1225$ 对应末节。

一句话总结

求方就是开平方，节数定位数，倍法定法对应完全平方的中间项；这套逐位推进的写法，就是开方术的全部。