少广·第10题：田广再加十一分之一，求从几何

原文

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问：从几何？

答曰：七十九步、八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。

术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。

白话翻译

现在有一块田，宽为一步半，再加三分之一到十一分之一的分步，要凑成一亩，问从是多少？

答案是 79 步又八万三千七百一十一分之三万九千六百三十一步。

术文的意思是，分母有 11，就把 1 步当作 27720，半步当作 13860，三分之一当作 9240，依次类推，十一分之一当作 2520，相加得 83711 作为法。240 步乘以 27720 得 6652800 作为实。实除以法，得到从。

示意图

图注：少广章第10题：少广术示意图

数学解读

一、11 是全新的质数，倍数直接乘 11

上一讲的通分倍数是 2520。11 是一个从未出现过的质数，只能整乘进去。

$2520 \times 11 = 27720$

这是少广术里最剧烈的一次跳跃，实从 604800 一下涨到 6652800，涨了 11 倍。

二、十个分母的通分

$\frac{27720+13860+9240+6930+5544+4620+3960+3465+3080+2772+2520}{27720} = \frac{83711}{27720}$

$\text{从} = \frac{6652800}{83711} = 79\frac{39631}{83711}$

三、83711 与 39631 都不小，怎么知道算对了

这一类题到了第 10 讲，手算验算已经不现实。83511 是合数，39631 也未必好分解。

古人依靠的是术的机械性。整个计算只有乘法和加法，算筹一根一根摆，每一步都是确定的。只要步骤没错，答案必然正确，不需要事后验算。

这与现代程序设计的思路一致，正确性来自算法本身，而不是来自对结果的抽查。

四、这一讲标出的一个边界

分母到 11，实已经到六百多万。用算筹摆六百多万，是当时任何实际场合都不会做的事。

所以《九章》这几道题不是作业，是演示。它在展示「术可以走多远」，而不是要你真的把数算出来。

读到这里应该有一个判断，前 10 讲的价值不在于记住答案，在于看清术的扩展方式。

高中课本关联

知识点定位：

• 初中数学：新质数因子导致最小公倍数倍增
• 人教A版必修第一册：大数运算与计算量估计
• 高中数学：算法复杂度（输入规模决定运算量）

高考考法：

数列求和中「分母含新质数导致通项突变」的判断与此完全一致。另外，「计算量估计」在新高考的数据处理题里时有出现。

易错点： 遇到 11 这样的质数仍想找「是否已被覆盖」。质数没有因子可拆，只能整乘。

思考与拓展

1. 基础

若分母加到 13，通分倍数会变成多少？

答：13 是新质数，$27720 \times 13 = 360360$。

2. 进阶

本讲实为 6652800，若面积改为 120 平方步，实是多少？从是多少？

答：实 $= 120 \times 27720 = 3326400$，从 $= \frac{3326400}{83711} = 39\frac{…}{83711}$，恰为本讲答案的一半。

3. 拓展

从第 8 讲到第 10 讲，通分倍数从 2520 到 27720，涨 11 倍；法从 7129 到 83711，涨约 11.7 倍。为什么法的涨幅略大于倍数涨幅？

答：因为分子和也随项数增加而增加，两项叠加使法涨得更快，但主导项仍是通分倍数。

一句话总结

十一是不折不扣的新质数，倍数乘十一到 27720，实破六百万；到这一步已经不是作业，是在演示术能走多远。