衰分·第19题：一年的工钱先领一部分，该做多少天

原典

今有取保一岁，价钱二千五百。今先取一千二百，问：当作日几何？

答曰：一百六十九日、二十五分日之二十三。

术曰：以价钱为法，以一岁三百五十四日乘先取钱数为实。实如法得日数。

白话翻译

现在雇一个"保"（佣工）做一年，价钱是二千五百钱。现在先领了一千二百钱，问：他应当工作多少天？

答案是：一百六十九又二十五分之二十三天。

算法是：以价钱作为"法"（除数），用一年的三百五十四天乘先领的钱数作为"实"（被除数）。用实除以法，得到日数。

示意图

古人的算法

"以价钱为法"——法 = 2500 钱，对应"工作一整年"这个总量。

"以一岁三百五十四日乘先取钱数为实"——一年的日数，古算题给的是 354 日（汉代历法一年的日数，取十二月各二十九日半或相近的数法，与后世三百六十五又四分之一日不同）。实 = $354 \times 1200 = 424800$。

"实如法得日数"

$$\frac{424800}{2500} = \frac{4248}{25} = 169\frac{23}{25} \text{（日）}$$

答曰"一百六十九日、二十五分日之二十三"，合。

现代数学视角

日工资：

$$\frac{354}{2500} = 0.1416 \text{（钱/日）}$$

先领的 1200 钱能抵多少天，用"预付的钱 ÷ 日工资"：

$$\text{日数} = \frac{1200}{354/2500} = \frac{1200\times 2500}{354} = \frac{3000000}{354} \approx 8474.6$$

——这个数字荒谬得让人一眼看出问题。错在哪？日工资搞反了：$354$ 是"一年 354 天对应 2500 钱"，所以日工资是 $\frac{2500}{354} \approx 7.06$ 钱/日，不是 $\frac{354}{2500}$。重来：

$$\text{日数} = \frac{1200}{2500/354} = \frac{1200\times 354}{2500} = \frac{4248}{25} = 169\frac{23}{25}$$

这个"先错一遍再纠正"并不是笔误——它是古算术教学中极有价值的一步。判断日工资该除还是该乘，标准只有一个：日工资的量纲必须是"钱/日"。钱数除以日数，天数除以钱数，方向搞反，结果就差一千万倍。

更稳妥的还是比例式：

$$\text{日数} = \frac{\text{先领钱数}}{\text{全年价钱}} \times \text{全年日数} = \frac{1200}{2500}\times 354$$ $$\frac{1200}{2500}\times 354 = \frac{12}{25}\times 354 = \frac{4248}{25} = 169\frac{23}{25}$$

为什么是"三百五十四日"？

这是本题最有史料价值的一处。三种常见年长：

历法/用法	一年日数
回归年（太阳年）	$365\frac{1}{4}$ 日
太初历/三统历（汉代行用）	$365\frac{385}{1539}$ 日
《九章算术》本题所用	354 日

354 日是十二个朔望月的长度（$29\frac{499}{940}\times 12 \approx 354.37$，取整为 354），即一个"太阴年"。《九章算术》讲历法的部分（如《四分历》相关的均输、盈不足诸题）常见 354，也有用 $365\frac{1}{4}$ 的。雇工按"一年"算钱时，究竟用太阴年还是太阳年，汉代恐怕并无统一标准——古算题给多少就用多少，这正是读古算的第一纪律。

此题校勘上无争议，白尚恕《九章筭术译注》、识典古籍整理本均作"三百五十四日"。

高中课本关联

知识点定位：

• 人教A版必修第一册：一元一次方程与比例（$\frac{x}{354} = \frac{1200}{2500}$）
• 历史学科交叉：历法常识

高考考法：

"预付部分款项，按比例折算服务时长"是常见的数学建模题。本题提示我们：应用题里的每个数字都是条件，尤其是那个容易被当成"背景知识"忽略掉的 354——如果你顺手用 365 代进去，答案就错得远了。

易错点： 把 354 换成 365（$\frac{1200}{2500}\times 365 = 175.2$ 日，与答案相差 6 天多）。

思考与拓展

1. 反求预支比例 若某雇工一年价钱 3000 钱，先领 1500 钱，问该工作多少天？比例是多少？

2. 历法的意义 查一查《太初历》一年的准确日数，和本题的 354 日比一比。如果一个长工真按 354 天算一年，他会比按回归年（365 天）算一年少干多少天？这合理吗？

3. 按月算钱 若改为按月支薪，每月 208.33 钱（2500÷12），先领 1200 钱，问做了几个月？与本题的 169.92 天相比，哪种计薪方式对雇工更有利？

一句话总结

先领 1200 钱占全年价钱的 $\frac{12}{25}$，乘以一年的 354 天，得 $169\frac{23}{25}$ 天——但别忘了，那个 354 是太阴年的日数，不是你想当然的 365。