衰分·第18题：一亩收六升太半升，一顷二十六亩收多少

原典

今有田一亩，收粟六升、太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步，问：收粟几何？

答曰：八斛四斗四升、一十二分升之五。

术曰：以亩二百四十步为法，以六升、太半升乘今有田积步为实，实如法得粟数。

白话翻译

现在有一亩田，收获六又三分之二升粟。现在有一顷二十六亩一百五十九步田，问：收获多少粟？

答案是：八斛四斗四升又十二分之五升。

算法是：以一亩的二百四十步作为"法"（除数），用"六又三分之二升"乘现有的田折成的积步数作为"实"（被除数）。用实除以法，得到粟数。

示意图

古人的算法

先认一个古汉语数字词："太半"。《九章算术》的分数词汇是标准化的：

所以单产是：

再算田地的总步数。关键是 $1\text{ 顷} = 100\text{ 亩}$、$1\text{ 亩} = 240\text{ 步}$（这里"步"指平方步，是面积单位）：

按术文算：

现代数学视角

直接把面积化成"亩"：

再按容量单位拆：

即"八斛四斗四升、一十二分升之五"。

为何古人要把面积化到"步"？

表面看，本题完全可以像我们那样化到"亩"。但古术坚持化到最小单位，原因有三：

1. 统一的算法框架。衰分、今有诸术的程序都是"以所有数为实、以所有率为法"，把所有量归到同一最小单位，程序才不必为每道题改写。
2. 避免繁分数。$126\frac{53}{80}$ 亩带着一个复合分数，而 30399 步是整数——古算偏爱整数运算。
3. 量纲清晰。实是"升 × 步"，法是"步/亩"，相除得"升·亩"，再归到"升"，中间过程一目了然。

这与今天计算机科学里"整数运算取代浮点运算以避免精度损失"的思路，颇有神似。

高中课本关联

知识点定位：

• 人教A版必修第一册：分数混合运算与量纲分析（分子分母单位的相消）
• 初中数学：比例与单位换算

高考考法：

"单产 × 面积 = 总产"的古代版本。本题的难点不在计算，而在读题：

1. 认出"太半" $= \frac{2}{3}$（这是送分题，也是送命题）；
2. 记住 $1\text{ 亩} = 240\text{ 平方步}$、$1\text{ 顷} = 100\text{ 亩}$；
3. 把 $\frac{202660}{240}$ 约成 $\frac{10133}{12}$，看出 $844$ 余 $5$。

易错点： 把"一顷二十六亩一百五十九步"误读为 $100 \times 26 + 159$。顷与亩是 100 倍关系，必须加法（100 + 26 = 126 亩）。

思考与拓展

1. 反求单产 若一顷二十六亩一百五十九步收 8 斛 4 斗 4 升 12 分之 5 升，问一亩收多少？把你的答案写成"X 升太半/少半升"试试。

2. 换成少半 若单产改为"五升、少半升"（即 $5\frac{1}{3}$ 升），同样面积的田能收多少斛斗升？

3. 一步到位？ 我们上面用了"化到步"和"化到亩"两种算法，结果相同。请用代数解释：为什么 $\frac{20}{3}\times\frac{30399}{240} = \frac{20}{3}\times\frac{30399/240}{1}$？（提示：乘以 $\frac{1}{240}$ 与先除以 240 再相乘，是乘法结合律。）

一句话总结

一亩 $6\frac{2}{3}$ 升、一顷 26 亩 159 步即 30399 步，$\frac{20}{3}\times 30399 \div 240 = 844\frac{5}{12}$ 升——拆成斛斗升，正是八斛四斗四升又十二分之五。