衰分·第20题：千钱月息三十，贷九日息几何

原典

今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问：息几何？

答曰：六钱、四分钱之三。

术曰：以月三十日，乘千钱为法。以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。实如法得一钱。

白话翻译

现在有人借出一千钱，一个月的利息是三十钱。现在有人借了七百五十钱，九天归还，问：利息是多少？

答案是：六又四分之三钱。

算法是：用一个月三十天乘一千钱作为"法"（除数）。用利息三十乘现在所借的钱数，再乘以九天，作为"实"（被除数）。用实除以法，得到利息钱数。

示意图

古人的算法

刘徽为这道题写了两条术，让我们逐句读。

第一条（李淳风等注释传下的主术）：

$$\text{法} = 30 \times 1000 = 30000$$

法是什么？李淳风的注释说得很清楚：

"以三十日乘千钱为法者，得三万，是为贷人钱三万，一日息三十也。"

也就是说，法代表"借出三万钱、一天"这个基准单位——它的利息恰好是 30 钱。

$$\text{实} = 30 \times 750 \times 9 = 202500$$ $$\text{息} = \frac{202500}{30000} = \frac{2025}{300} = \frac{81}{12} = \frac{27}{4} = 6\frac{3}{4}$$

第二条（刘徽提出的另一条算法）：

刘徽说，也可以把月息比例化："以一月三十日约息三十钱，为十分一日，以乘今一日所有钱为实；千钱为法。"

意思是：月息 30 钱摊到 30 天上，每天利息是 $\frac{30}{30} = 1$ 钱，也就是"每千钱每日息一钱"——用今天的话说就是日利率千分之一。于是：

$$\text{今一日所有钱} = 750 \times 9 = 6750 \text{（钱·日）}$$ $$\text{息} = \frac{1 \times 6750}{1000} = 6.75 \text{（钱）}$$

两条路殊途同归。刘徽最后补了一句极有分量的话：

"为率者，当等之于一也。"

——确立"率"的时候，必须把基准归一。这句话是中国古代数学"率"思想的纲领。

现代数学视角

今天的单利公式：

$$I = P \times r \times t$$

其中 $P$ 是本金，$t$ 是时间，$r$ 是单位时间利率。代入：

$$P = 750, \qquad t = 9\text{ 日}, \qquad r = \frac{30}{1000\times 30} = \frac{1}{1000} \text{（每日）}$$ $$I = 750 \times \frac{1}{1000} \times 9 = \frac{6750}{1000} = 6.75$$

与古术算法完全一致。两千年前中国已经有了成熟的单利模型，而且用的是"钱·日"这种无量纲化的处理方式。

年化利率有多高？

$$\text{月利率} = \frac{30}{1000} = 3\%, \qquad \text{年化（单利）} = 3\%\times 12 = 36\%$$

$36\%$ 的年化利率在今天属高利贷，但在汉代，民间借贷利率常在 $20\%$ 上下（居延汉简所见），《九章算术》这道题算偏高的。不过要说明：汉代借钱与今天不同，往往不按期付息，而是"到期一次本息全还"，且没有成熟的复利制度，因此绝对利息额并不夸张。

中西对照

• 古巴比伦（约公元前 1800 年）：泥板文书中已有相当成熟的复利计算，巴比伦人甚至能解指数方程。
• 古埃及《莱因德纸草书》（约公元前 1650 年）：有大量比例问题。
• 古希腊：亚里士多德《政治学》讨论过"借贷取息是否合乎正义"，但希腊数学几乎没有系统的商业算术。
• 中国：《九章算术》衰分章的利息题，用的是单利 + 比例，且以"术"的抽象程序统率例题。

两条道路各有偏重：西方更早发展复利与抽象比例论（欧几里得《几何原本》第五卷），中国更早发展商业算术与算法程序化。

高中课本关联

知识点定位：

• 人教A版必修第一册：正比例函数 $y = kx$（本金一定时，利息与天数成正比）
• 人教A版必修第二册：数学建模（从实际情境提取参数）
• 金融常识交叉：单利与复利、年化利率

高考考法：

近五年高考与模拟题中，"古代数学文献 + 利率"是稳定出现的组合。典型问法：

1. 给出"千钱月息三十"，问借 $P$ 钱 $t$ 日的利息（直接比例计算）；
2. 给出两种借贷方案，比较利息多少（建模后比大小）；
3. 把月息折算年化（考查单位换算与百分数）。

易错点： 把"月息三十"直接用：$750\times\frac{30}{1000} = 22.5$ 钱——忘了这只是一个月的利息，而本题只借 9 天，必须再乘 $\frac{9}{30}$。

思考与拓展

1. 逆向问题 若某人借 500 钱，15 天后归还，利息是多少？

答：$500\times\frac{1}{1000}\times 15 = 7.5$ 钱。

2. 两种方案比大小 甲借 800 钱 12 天，乙借 600 钱 15 天，谁付的利息多？多多少？

答：甲 $= 800\times\frac{1}{1000}\times 12 = 9.6$ 钱；乙 $= 600\times\frac{1}{1000}\times 15 = 9$ 钱。甲多 0.6 钱。

3. 若按复利算 若把今天 $36\%$ 的年化利率按月复利计，年化实际利率是多少？与单利的 $36\%$ 差多少？

答：$(1+3\%)^{12} - 1 \approx 42.58\%$。相差约 $6.6$ 个百分点——这正是"利滚利"的威力，也是古人这道题里没有涉及的部分。

一句话总结

法取"千钱 × 三十日"、实取"息 × 钱 × 日"，一次除法得 $6\frac{3}{4}$ 钱；而刘徽那句"为率者，当等之于一"，道尽了所有比例算法的根基。