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九章算术 · 第 101 讲 · 2026-11-09 · 约 9 分钟

衰分·第17题：生丝晒干缩水——从干丝反推生丝

三十斤生丝晒干后耗了三斤十二两。现在有干丝十二斤，问原来要多少生丝？答案是 13 斤 11 两又 10 又 2/7 铢——一道反向比例题，分母 7 从何而来是本题的关键。

原典

今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两。今有干丝一十二斤，问：生丝几何？

答曰：一十三斤一十一两十铢、七分铢之二。

术曰：置生丝两数，除耗数，余，以为法。三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。

白话翻译

现在有三十斤生丝，把它晒干，损耗了三斤十二两。现在有干丝十二斤，问：原来需要多少生丝？

答案是：十三斤十一两十又七分之二铢。

算法是：取生丝的两数，减去损耗数，把余数作为"法"（除数）。用三十斤乘干丝的两数作为"实"（被除数）。用实除以法，得到生丝数。

示意图

生丝30斤=480两，耗60两，干丝率420两；由干丝192两反推生丝

图注：干丝率 $480-60=420$ 两，$\frac{30\times 192}{420} = \frac{1536}{7}$ 两 $= 13$ 斤 $11$ 两 $10\frac{2}{7}$ 铢

古人的算法

第一步："置生丝两数，除耗数，余，以为法。"

先把题目给的两个量都折成两：

30 斤=480 两,3 斤  12 两=3×16+12=60 两30 \text{ 斤} = 480 \text{ 两}, \qquad 3 \text{ 斤} \; 12 \text{ 两} = 3\times 16 + 12 = 60 \text{ 两}

余数就是干丝的重量，刘徽称它为"干丝率"：

法=480−60=420（两）\text{法} = 480 - 60 = 420 \text{（两）}

第二步："三十斤乘干丝两数为实。"

干丝十二斤折成两：

12 斤=192 两12 \text{ 斤} = 192 \text{ 两} 实=30×192=5760\text{实} = 30 \times 192 = 5760

（这里 30 的单位是"斤"，192 的单位是"两"，乘积单位是"斤·两"，在比例运算中单位相消，不影响结果。）

第三步："实如法得生丝数。"

5760420=57642=967=1357（斤）\frac{5760}{420} = \frac{576}{42} = \frac{96}{7} = 13\frac{5}{7} \text{（斤）}

现代数学视角

先求干丝占生丝的比例：

干丝生丝=420480=78\frac{\text{干丝}}{\text{生丝}} = \frac{420}{480} = \frac{7}{8}

即干丝是生丝的 78\frac{7}{8}。反过来，生丝是干丝的 87\frac{8}{7} 倍。现有干丝 192 两：

生丝=192×87=15367（两）=21937（两）\text{生丝} = 192 \times \frac{8}{7} = \frac{1536}{7} \text{（两）} = 219\frac{3}{7} \text{（两）}

拆成斤两铢三级：

219=13×16+11⇒13 斤  11 两219 = 13\times 16 + 11 \quad\Rightarrow\quad 13 \text{ 斤} \; 11 \text{ 两}

余下 37\frac{3}{7} 两折成铢：

37×24=727=1027（铢）\frac{3}{7}\times 24 = \frac{72}{7} = 10\frac{2}{7} \text{（铢）}

合起来正是"十三斤十一两十铢、七分铢之二"。

分母 7 从何而来？

这是本题的灵魂。干丝率 420 与生丝率 480 相约：

480420=4842=87\frac{480}{420} = \frac{48}{42} = \frac{8}{7}

7 出现在分母上，于是任何非 7 的倍数都会带出七分数。干丝 192 两不是 7 的倍数，所以答案是 15367\frac{1536}{7} 两——37\frac{3}{7} 两再折成铢，得 727=1027\frac{72}{7} = 10\frac{2}{7} 铢。

古人把分数答到"七分铢之二"，说明《九章算术》的答案体系允许任意分母，并不强调整数——这与"分数是中华古代数学最强项"的常识完全吻合。

高中课本关联

知识点定位：

  • 人教A版必修第一册：分式的约分与化简（5760420→967\frac{5760}{420} \to \frac{96}{7}）
  • 人教A版必修第二册：统计中的成材率、含水率（同一模型的现代版本）
  • 初中数学：比与反比例

高考考法：

"已知成品率反求原料量"是应用题常客。古算版本的解题步骤可提炼为四步：

  1. 求出成品率（或损耗率）；
  2. 用"原料量 == 成品量 ÷\div 成品率"；
  3. 注意单位统一（本题统一到两最稳）；
  4. 结果按要求的单位层级拆解。

易错点： 把比例搞反，算成 192×78=168192\times\frac{7}{8} = 168 两。判断法：干丝比生丝少，所以反过来生丝应比干丝多（87>1\frac{8}{7} > 1）。

思考与拓展

1. 顺推检验 若以本题答案 135713\frac{5}{7} 斤生丝晒干，损耗应是多少？

解：损耗率 60480=18\frac{60}{480} = \frac{1}{8} 是固定不变的比率。生丝 1357=96713\frac{5}{7} = \frac{96}{7} 斤 =15367= \frac{1536}{7} 两，故

损耗=15367×18=1927=2737（两）=1 斤  1137（两）\text{损耗} = \frac{1536}{7}\times\frac{1}{8} = \frac{192}{7} = 27\frac{3}{7} \text{（两）} = 1\text{ 斤} \; 11\frac{3}{7} \text{（两）}

也可以直接按比例缩放：生丝从 30 斤减到 967\frac{96}{7} 斤，倍数是 96/730=1635\frac{96/7}{30} = \frac{16}{35}，损耗随之从 60 两变成 60×1635=192760\times\frac{16}{35} = \frac{192}{7} 两——两条路一致。

顺推虽然得不到"三斤十二两"，但这不是矛盾：原题中的三斤十二两是"晒 30 斤生丝"这一特定量的损耗；现在只有 967\frac{96}{7} 斤（约 13.7 斤）生丝，损耗当然只有约 27.4 两。率不变，量随数走——这正是比例思想的核心。

2. 改变损耗 若生丝晒干后损耗改为三斤六两，干丝率变成多少？这时 12 斤干丝需多少生丝？

解：损耗 =3×16+6=54= 3\times 16 + 6 = 54 两，干丝率 =480−54=426= 480 - 54 = 426 两。生丝 =30×192426=96071=133771= \frac{30\times 192}{426} = \frac{960}{71} = 13\frac{37}{71} 两 =13= 13 两 12367112\frac{36}{71} 铢。分母 71 是质数，答案很难看。这正是古算选数的讲究：原题用 60 两损耗，干丝率 420 与 480 可约成 7:87:8；改成 54 两后，426 与 480 的最大公约数只有 6，遂成七十一分之繁。

3. 分数的意义 本题答"七分铢之二"，即 27\frac{2}{7} 铢。请查一查《九章算术》中"约分术"的规定（"可半者半之，不可半者副置分母子之数，以少减多，更相减损"），想一想：为什么《九章算术》要求分数必须约到最简？

一句话总结

480 两生丝晒剩 420 两，干丝率 420480=78\frac{420}{480} = \frac{7}{8}；由 192 两干丝反推生丝 15367\frac{1536}{7} 两，拆开就是 13 斤 11 两又 102710\frac{2}{7} 铢——那个"七分铢之二"，是分数思想最自然的落点。

— Y. · 2026-11-09
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