九章算术 · 第 100 讲 · 2026-11-08 · 约 8 分钟

衰分·第16题：一斤丝耗七两——二十三斤五两耗多少

一斤丝在制作中损耗七两。二十三斤五两丝一共耗多少？答案是 163 两 4 铢半——一道标准的损耗率问题，答案落在「两」以下的分数上，逼你用铢。

原典

今有丝一斤，耗七两。今有丝二十三斤五两，问：耗几何？

答曰：一百六十三两四铢半。

术曰：以一斤展十六两为法，以七两乘今有丝两数为实。实如法得耗数。

现在有一斤丝，制作过程中要损耗七两。现在有二十三斤五两的丝，问：总共损耗多少？

答案是：一百六十三两又四铢半。

算法是：把一斤展开成十六两作为"法"（除数），用七两乘现有的丝折成的两数作为"实"（被除数）。用实除以法，得到损耗数。

23斤5两=373两，乘7两损耗率再除以16两得163又3/16两，余数折铢

图注：损耗率 $\frac{7}{16}$，$373\times\frac{7}{16} = \frac{2611}{16} = 163\frac{3}{16}$ 两，$\frac{3}{16}$ 两 $= 4.5$ 铢

"以一斤展十六两为法"——"展"是展开的意思。一斤 = 十六两，所以法 = 16。

这一步的实质：把"每斤耗七两"这个带单位的比率，改写成"每两耗 $\frac{7}{16}$ 两"的纯比率。古人不写"损耗率"这个词，但做法完全一致。

"以七两乘今有丝两数为实"——先把二十三斤五两折成两：

23 \text{ 斤} \; 5 \text{ 两} = 23 \times 16 + 5 = 368 + 5 = 373 \text{ 两}

\text{实} = 7 \times 373 = 2611

"实如法得耗数"

\frac{2611}{16} = 163\frac{3}{16} \text{（两）}

直接算损耗率：

\frac{7}{16} = 0.4375, \qquad 373 \times 0.4375 = 163.1875 \text{（两）}

答案要按汉代衡制拆成"两—铢"两级。余下 $\frac{3}{16}$ 两，而 $1\text{两} = 24\text{铢}$ ：

\frac{3}{16} \times 24 = \frac{72}{16} = 4.5 \text{（铢）}

所以：

163\frac{3}{16} \text{ 两} = 163 \text{ 两} \; 4\text{ 铢半}

与答曰"一百六十三两四铢半"吻合。

$\frac{3}{16}$ 两折成铢得到 4.5 铢，是个"半铢"收尾。细看数字：

\frac{3}{16}\times 24 = \frac{3\times 24}{16} = \frac{72}{16} = \frac{9}{2}

分子 72 只含一个 2 的因子（ $72 = 8\times 9$ ），除以 16 后必然留下 $\frac{1}{2}$ ——《九章算术》答案里经常出现"半"，正是这种进位制下的自然产物。古书写"四铢半"，就相当于今天写"4.5"。

知识点定位：

高考考法：

"已知单位损耗率求总损耗"在工程问题、经济问题中反复出现。本题的古算形式提醒我们：比率必须先统一单位才能相乘——"每斤七两"不能直接乘"373 两"，必须先化成"每两耗多少"。

易错点：

忘记把 23 斤 5 两合成 373 两，而误算成 $23\times 7 + 5\times 7 = 196$ ——这是把"每斤七两"和"每两七两"混为一谈；
把 $\frac{3}{16}$ 两误当作 $\frac{3}{16}$ 铢。进位率 24 提醒我们：两化铢是乘 24。

1. 反求原丝量 若已知损耗为 100 两，问原丝有多少斤多少两？（提示：用 $\div\frac{7}{16}$ ）

2. 损耗率的意义 本题损耗率 $\frac{7}{16} \approx 43.75\%$ ，听起来很高。但从生丝到成品织物本来就要去蛹胶、去杂质，这个比例说明了什么？请查一查今天生丝到丝绸的成材率大致多少。

3. 换个损耗率 若把"一斤耗七两"改成"一斤耗五两"，二十三斤五两丝会损耗多少？折成铢还是"半铢"收尾吗？

一斤丝耗七两，二十三斤五两（373 两）按 $\frac{7}{16}$ 的比率损耗，得 163 两又 $\frac{3}{16}$ 两——折成铢正好 4 铢半，与两千年前的答曰分毫不差。

— Y. · 2026-11-08