衰分·第15题：十四斤丝换十斤缣，四十五斤八两换多少

原典

今有与人丝一十四斤，约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两，问：得缣几何？

答曰：三十二斤八两。

术曰：以一十四斤两数为法，以一十斤乘今有丝两数为实。实如法得缣数。

白话翻译

现在给人十四斤丝，约定换得十斤缣。现在给人四十五斤八两丝，问：能得多少缣？

答案是：三十二斤八两。

算法是：把十四斤折成两数作为"法"（除数），用十斤乘现有的丝折成的两数作为"实"（被除数）。用实除以法，得到缣数。

示意图

古人的算法

"以一十四斤两数为法"——十四斤折成两：

法 = 224。

"以一十斤乘今有丝两数为实"——四十五斤八两折成两：

"实如法得缣数"

与答曰吻合。

现代数学视角

这道题是以物易物的兑换率：丝与缣的交换比是 $14:10 = 7:5$。

设得缣 $x$ 斤：

注意这里 $45$ 斤 $8$ 两 $= 45.5$ 斤（因为 8 两正好是半斤，$1\text{斤}=16\text{两}$），所以能顺利写成小数。若换成 7 两，就必须走分数：$45\frac{7}{16}$ 斤 $= \frac{727}{16}$ 斤。

整数答案的玄机

为什么这道题答案是"整数斤 + 半斤"？看两数：

• 丝的斤数 $45.5 = \frac{91}{2}$，而 $91 = 7 \times 13$；
• 兑换比的分母是 14 $= 7\times 2$。

那个 91 中的因子 7 正好约掉分母里的 14，只留下 2——所以答案是"半斤"收尾。古人设计题目时对数字的可约性极有讲究，《九章算术》几乎每题的答案都能落到整齐的分数上，这不是巧合。

高中课本关联

知识点定位：

• 人教A版必修第一册：分式运算与约分
• 初中数学：比与比例应用题

高考考法：

"给出兑换比率，求另一数量"是经典题型。解题的关键是选对单位：本题统一到"斤"最省事（因为 8 两 = 半斤，可以写成 45.5）；但若换成 7 两、13 两，统一到斤会带出繁分数，此时统一到"两"反而干净。

易错点： 把"与人丝"理解成"给出"，把"得缣"理解成"收回"——这没问题；但容易把两个数之比倒过来，算成 $45.5 \times \frac{14}{10} = 63.7$ 斤。判断方法：缣比丝"贵"（14 斤丝才换 10 斤缣），所以得的缣必须少于给出的丝。

思考与拓展

1. 反求兑换比 若给人 30 斤丝，得回缣 21 斤 5 两，问：多少斤丝换一斤缣？

答：设 $s$ 斤丝换一斤缣，则 $\frac{30}{21\frac{5}{16}} = \frac{30}{341/16} = \frac{480}{341} \approx 1.408$ 斤。验算：$30 \div \frac{480}{341} = \frac{341}{16} = 21\frac{5}{16}$ 斤 $= 21$ 斤 $5$ 两 ✓

2. 加入损耗 若运输途中丝要损耗百分之五（即 100 斤丝运到只剩 95 斤），而兑换按运到的重量算，那么给出 45 斤 8 两丝，最终能得多少缣？

3. 古今交换比 今天蚕丝被与丝绸的价差依然存在。请查一查生丝与成品绸缎的大致价格比，与本题的 $7:5$ 相比，你发现了什么？（提示：加工附加值随时代变化很大。）

一句话总结

14 斤丝换 10 斤缣，45 斤 8 两正好换回 32 斤 8 两——统一单位后一次除法，古人选数的巧思也藏在答案的整数里。