九章算术 · 第 98 讲 · 2026-11-07 · 约 8 分钟

衰分·第14题：五百钱买素几何——得素一匹

一匹又添一丈的素，价六百二十五钱；手里只有五百钱，能买多少？答案是「得素一匹」。本题单位换算虽简，却牵出一个有意思的细节：为什么答曰说「一匹」而不是「四丈」？

原典

今有素一匹一丈，价直六百二十五。今有钱五百，问：得素几何？

答曰：得素一匹。

术曰：以价直为法，以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。

现在有一匹又一丈的素（本色的生丝织品），价钱是六百二十五钱。现在有五百钱，问：能买多少素？

答案是：能买一匹素。

算法是：以价钱作为"法"（除数），用"一匹一丈"折成的尺数乘现有的钱数作为"实"（被除数）。用实除以法，得到素的数量。

一匹一丈=50尺对应625钱，500钱按比例换得40尺即一匹

图注：$\frac{500}{625} = \frac{4}{5}$，取总量的五分之四，恰为一匹（40 尺）

"以价直为法"——法 = 625 钱，这是"一匹一丈"这个总量的价钱。

"以一匹一丈尺数乘今有钱数为实"——先算总量折成多少尺：

1 \text{ 匹} \; 1 \text{ 丈} = 4 \text{ 丈} + 1 \text{ 丈} = 5 \text{ 丈} = 50 \text{ 尺}

于是：

\text{实} = 50 \times 500 = 25000

"实如法得素数"

\frac{25000}{625} = 40 \text{（尺）}

40 尺 $= 4$ 丈 $= 1$ 匹。

两种等价算法：

思路一（比例法）

\frac{x}{50} = \frac{500}{625} = \frac{4}{5} \quad\Longrightarrow\quad x = 50\times\frac{4}{5} = 40 \text{（尺）}

思路二（单价法）

\text{每尺价} = \frac{625}{50} = 12.5 \text{（钱/尺）}, \qquad \text{可买} = \frac{500}{12.5} = 40 \text{（尺）}

两条路都得到 40 尺。按汉制 $1\text{匹}=4\text{丈}=40\text{尺}$ ，40 尺正是一匹——所以答曰说"得素一匹"。

这是本题最耐人寻味的地方。上海古籍白尚恕《九章筭术译注》作"得素一匹"，识典古籍整理本同；但也有传本（及部分现代整理本）写作"四丈"。

两种写法数量完全一致（一匹 = 四丈 = 40 尺），差别只在表述习惯：

古人答曰往往选取交易场景中最自然的单位，而不是最细的单位。这与第 10、11 题答曰要细到"铢"，恰好形成对照：涉及衡制（斤两铢）时答到最小单位，涉及布帛（匹丈尺）时答到整匹——因为一匹布是可以完整交割的，半匹则要另议。

知识点定位：

高考考法：

"已知总量价钱与其中一部分的价钱，求这部分数量"是比例应用题的基本型。本题的陷阱不在计算，而在单位识别："一匹一丈"是 $4+1=5$ 丈而非 $4\times1=4$ 丈。若误当作 4 丈，则法不变而实变成 $40\times500$ ，结果 32 尺，与答曰相差一整丈。

易错点： "一匹一丈"必须读作"一匹又一丈"。

1. 买 8 丈要多少钱？ 8 丈 = 80 尺。按每尺 12.5 钱算，需 1000 钱。请用古术验证：法 = 625，实 = 50 × 1000 = 50000， $50000 \div 625 = 80$ 尺。

2. 如果钱数是 700 呢？ 700 钱能买多少素？照术文算出来是多少尺？折成"匹—丈—尺"怎么写？这时答曰还会说"一匹"吗？

3. 从"一匹"看度量衡的社会性 为什么古人答"一匹"而不答"四丈"？请你想一想：今天购物时，我们说"一袋米"而不说"5 千克米"，是同样的道理吗？单位的选择背后是什么？

625 钱对应 50 尺，500 钱恰得其 $\frac{4}{5}$ 即 40 尺——不多不少正好一匹，答曰"得素一匹"既是算术，也是汉代布帛贸易的日常语言。

— Y. · 2026-11-07