衰分·第13题：一匹布一百二十五钱，二丈七尺值多少

原典

今有布一匹，价直一百二十五。今有布二丈七尺，问：得钱几何？

答曰：八十四钱、八分钱之三。

术曰：以一匹尺数为法，今有布尺数乘价钱为实。实如法得钱数。

白话翻译

现在有一匹布，价格是一百二十五钱。现在有二丈七尺布，问：值多少钱？

答案是：八十四又八分之三钱。

算法是：以一匹折成的尺数作为"法"（除数），用现有的布折成的尺数乘价钱作为"实"（被除数）。用实除以法，得到钱数。

示意图

古人的算法

"以一匹尺数为法"——一匹 $= 4$ 丈 $= 40$ 尺，所以"法" $= 40$。

"今有布尺数乘价钱为实"——二丈七尺 $= 27$ 尺：

"实如法得钱数"

答曰"八十四钱、八分钱之三"，严丝合缝。

现代数学视角

比例式：

一个容易被忽略的细节：古书的分数写法

古书说"八分钱之三"，意思是"以八分之一钱为单位，取三份"，即 $\frac{3}{8}$ 钱。这种"名数"写法在《九章算术》中极其规范：分母必须写出，"三分铢之四""五分钱之三""八分钱之三"都是同一句式。

有些传本在此处脱落了"八"字，只剩"分钱之三"——这在数学上是不完整的（以几分之一？缺分母），只能靠比例重算才能补回。上海古籍白尚恕《九章筭术译注》与识典古籍整理本均作"八分钱之三"。

同时，题面"价直一百二十五"也有传本讹作"一百二十三"，用答曰一验即知：按 123 算出 $\frac{27\times 123}{40} = 83\frac{1}{40}$，与 $84\frac{3}{8}$ 相差甚远；由答曰反推一匹价 $= \frac{675}{8}\times\frac{40}{27} = 125$。

高中课本关联

知识点定位：

• 人教A版必修第一册：分数的约分与通分（$\frac{3375}{40}$ 约成 $\frac{675}{8}$，注意分子分母同除以 5）
• 初中数学：比与比例

高考考法：

本题结构简单，恰恰适合作为"数学文化题"的第一问——给出古文，要求读出比例关系。第二问常变形为"若买 3 匹又 5 尺，需多少钱"，考查单位合成与乘法分配律。

易错点：

1. 把"一匹"记成 4 丈还是 4 丈 1 尺？标准是一匹 = 四丈 = 40 尺，多出的一尺是后世布帛幅宽带来的差异，汉代算题里一律按 40 尺。
2. 约分时只约一次：$\frac{3375}{40}$ 除以 5 得 $\frac{675}{8}$，此时分子 $675 = 3^3\times 5^2$，分母 $8 = 2^3$，已互质，别再继续约。

思考与拓展

1. 反向计算 若某人恰好花了 150 钱买布，按本题价钱能买几尺？是整数尺吗？

2. 与第12题对照 第12题（缣）一匹九尺五寸值 $633\frac{3}{5}$ 钱，本题（布）二丈七尺值 $84\frac{3}{8}$ 钱。同样长度，价钱差这么多，说明缣比布贵多少倍？这反映了汉代纺织品的什么等级？

3. 分数进位的选择 若你来设计这道题，把一匹布的价钱设成多少，能让二丈七尺的价钱恰好是整数？（提示：要让 $27\times p$ 被 40 整除，$p$ 至少含有什么因子？）

一句话总结

27 尺乘 125 除以 40 得 $84\frac{3}{8}$ 钱——并且提醒我们：古书里"八分钱之三"那个"八"字，一个都不能少。