衰分·第12题：一匹又九尺五寸的缣值多少钱——布帛丈尺比例

原典

今有缣一丈，价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸，问：得钱几何？

答曰：六百三十三钱、五分钱之三。

术曰：以一丈寸数为法，以价钱数乘今有缣寸数为实。实如法得钱数。

白话翻译

现在有一丈缣（一种细绢），价格是一百二十八钱。现在有一匹又一尺九寸……准确说，有一匹零九尺五寸的缣，问：值多少钱？

答案是：六百三十三又五分之三钱。

算法是：以一丈折成的寸数作为"法"（除数），用价钱乘现有的缣折成的寸数作为"实"（被除数）。用实除以法，得到钱数。

示意图

古人的算法

"以一丈寸数为法"——一丈的寸数是 100，所以"法" = 100。为什么要取寸？因为题目里同时出现了"丈""尺""寸"三种单位，必须选一个最小的统一起来。

"以价钱数乘今有缣寸数为实"——先把"一匹九尺五寸"折成寸：

$$1 \text{ 匹} = 4 \text{ 丈} = 40 \text{ 尺}, \qquad 1 \text{ 丈} = 10 \text{ 尺} = 100 \text{ 寸}$$ $$40 \text{ 尺} + 9 \text{ 尺} \; 5 \text{ 寸} = 49 \text{ 尺} \; 5 \text{ 寸} = 495 \text{ 寸}$$

于是：

$$\text{实} = 128 \times 495 = 63360$$

"实如法得钱数"

$$\frac{63360}{100} = 633\frac{3}{5}$$

答曰"六百三十三钱、五分钱之三"，完全吻合。

现代数学视角

这道题的结构是单价问题的比例放大：已知一丈（100 寸）的价钱，求 495 寸的价钱。

比例式：

$$\frac{x}{128} = \frac{495}{100}$$ $$x = \frac{128 \times 495}{100} = \frac{63360}{100} = 633\frac{3}{5} \text{ 钱}$$

关于题面数字的校勘

部分传本此处题面作"价直一百二十六"。用答曰一验：

• 按 126 算：$\frac{126 \times 495}{100} = 623.7$，与答曰 633.6 相差近 10 钱，绝非四舍五入所能解释；
• 由答曰反推：一丈价 $= \frac{633.6 \times 100}{495} = \frac{63360}{495} = 128$。

上海古籍白尚恕《九章筭术译注》与识典古籍整理本均作"一百二十八"。可见"一百二十六"是"二十八"讹作"二十六"的传抄之误——两个数字只差一个字，却让整道题看起来像"古人算错了"。

高中课本关联

知识点定位：

• 人教A版必修第一册：数轴与单位的思想（同一个量在不同单位下的数值换算）
• 初中数学：比与比例、单位换算

高考考法：

古代度量衡背景的比例题，近年高考与模拟题中屡见不鲜。本题的得分点：

1. 背得出 $1\text{匹}=4\text{丈}=40\text{尺}$；
2. 把"一匹九尺五寸"正确合成 495 寸（注意是 $40+9$ 尺，不是 $40\times 9$）；
3. 列比例 $\frac{x}{128} = \frac{495}{100}$ 求解。

易错点： 忘记一匹是四丈，误算成 $4\times 9 + 5 = 41$ 尺；或把"九尺五寸"当成 $9.5$ 尺后又错加成 $49.5\times 10 = 495$ 寸——这一步其实是对的，但要清楚为什么可以这样做：十进制长度单位允许小数点表示。

思考与拓展

1. 织工的视角 一位织工一天能织 3 丈缣。若一天工资是 30 钱，他织多少天的工钱才抵得上一匹（4 丈）缣的价钱？

2. 另一半的利润 若把一匹缣（40 尺）裁成 9 尺 5 寸一段，最多能裁几段？剩多少？

3. 假如答曰错了 假设某道古题的答曰与按术文所算差了整整 10 倍，你能想到哪些可能的原因？（提示：从"匹"与"丈"的进位、版本差异、抄写颠倒等方面考虑。）

一句话总结

一匹九尺五寸折成 495 寸，乘 128 除以 100 得 $633\frac{3}{5}$ 钱——顺便把传本里"一百二十八"讹作"一百二十六"的那笔旧账，用答曰反推彻底结清。