衰分·第11题：三百四十五钱一斤的丝——铢两斤里的比例智慧

原典

今有丝一斤，价直三百四十五。今有丝七两一十二铢，问：得钱几何？

答曰：一百六十一钱、三十二分钱之二十三。

术曰：以一斤铢数为法，以一斤价数，乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。

白话翻译

现在有一斤丝，价值三百四十五钱。现在有七两十二铢丝，问：值多少钱？

答案是：一百六十一又三十二分之二十三钱。

算法是：以一斤丝折成的铢数作为"法"（除数），用一斤的价钱乘"七两十二铢"折成的铢数作为"实"（被除数）。用实除以法，得到钱数。

示意图

古人的算法

把题面读透，关键在于单位的统一。题目给了两个不同的量纲："一斤"（价格的分母）和"七两十二铢"（实物的量），两者必须化成同一单位才能相比。

第一步，"以一斤铢数为法"。 把一斤展开成铢：

$$1\text{ 斤} = 16 \times 24 = 384 \text{ 铢}$$

所以"法" = 384。

第二步，"以一斤价数，乘七两一十二铢为实"。 这里"乘七两一十二铢"实际是乘它折成的铢数：

$$7\text{ 两} \; 12\text{ 铢} = 7 \times 24 + 12 = 168 + 12 = 180 \text{ 铢}$$

于是：

$$\text{实} = 345 \times 180 = 62100$$

第三步，"实如法得钱数"。

$$\frac{62100}{384} = \frac{62100 \div 12}{384 \div 12} = \frac{5175}{32} = 161\frac{23}{32}$$

与答曰严丝合缝。

现代数学视角

这道题的本相是正比例：单价一定时，价格与数量成正比。

设所求钱数为 $x$，用现代比例式写：

$$\frac{345}{384} = \frac{x}{180}$$ $$x = \frac{345 \times 180}{384} = \frac{62100}{384} = \frac{5175}{32} = 161\frac{23}{32}$$

古人的"实如法"与现代比例消元，结构完全一致：都是 $\dfrac{a \times b}{c}$。

一次漂亮的文本校勘

本题在不少本子里题面作"价直三百四十三"。用答曰一验便知：

• 若按 343 算，实 $= 343 \times 180 = 61740$，除以 384 得 $\frac{5145}{32} = 160\frac{25}{32}$，与答曰 $161\frac{23}{32}$ 不合；
• 反过来从答曰反推：$161\frac{23}{32} = \frac{5175}{32}$，则实应为 $\frac{5175}{32}\times 384 = 5175 \times 12 = 62100$，一斤价数 $= \frac{62100}{180} = 345$。

清代数学家李潢《九章算术细草图说》已指出此处"三百四十三"当为"三百四十五"。上海古籍白尚恕《九章筭术译注》与识典古籍整理本均作"三百四十五"。

值得注意的是：本题各处分录写成"一斤价数，乘七两一十二铢"，与第10题的表述小有差异，但算法同归——刘徽把这一组题统一解释为今有术，只是"所有率"与"所求率"互换了一下位置。

高中课本关联

知识点定位：

• 人教A版必修第一册：等式性质与分式化简（约分 $\frac{62100}{384} = \frac{5175}{32}$ 需要耐心与准确性）
• 初中数学：比例与单位换算

高考考法：

高考数学文化题的常见形式是给出古文材料，要求"提取信息—建立模型—求解验证"。本题的得分点有三个：

1. 看清进位关系 $1\text{斤}=16\text{两}=384\text{铢}$，$7\text{两}12\text{铢}=180\text{铢}$；
2. 建立比例 $\frac{345}{384} = \frac{x}{180}$；
3. 准确完成大数约分，化出 $161\frac{23}{32}$。

易错点： 有同学会把 384 与 180 搞混，误把 345 当除数。判断方法：所求是"钱"，所以最后结果的单位必须是钱，因此 345 必须出现在分子上。

思考与拓展

1. 让数字变漂亮 若把一斤丝价设为 384 钱，则 7 两 12 铢（180 铢）值多少钱？你发现了什么规律？为什么这个价钱"特别好算"？

2. 换成"两"试试 术文说"以一斤铢数为法"。如果改用"一两铢数"（24）作为法，算法该怎么调整？结果会变吗？请写出完整步骤并验证。

3. 衡制的演变 秦汉的 1 两 = 24 铢，而今天 1 两 = 50 克。请查阅资料，梳理从秦汉到近代中国衡制"两"的实际重量变化，想一想：为什么古代算题偏爱能把分数约干净的进位率？

一句话总结

七两十二铢折成 180 铢，乘 345 除以 384 得 $161\frac{23}{32}$ 钱——而那个把 345 讹成 343 的传抄错误，正好被答曰抓了个正着。