衰分·第10题：一斤丝二百四十钱，千钱买丝几何——斤两铢里的三级换算
一道看似简单的「单价×数量」问题，却把汉代度量衡的三级换算（斤→两→铢）和分数运算一次用尽。算到最后你会发现：传世本子里「三分铢之四」应作「五分铢之四」——这正是用数学校验古文本的绝佳例子。
原典
今有丝一斤，价直二百四十。今有钱一千三百二十八，问：得丝几何？
答曰：五斤八两一十二铢、五分铢之四。
术曰：以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实，实如法得丝数。
白话翻译
现在有一斤丝，价格是二百四十钱。现在手里有一千三百二十八钱，问：能买到多少丝？
答案是：五斤八两一十二又五分之四铢。
算法是：以一斤的价格作为"法"（除数），以"一斤"这个单位乘现有的钱数作为"实"（被除数），用实除以法，就得到丝的数量。
示意图
古人的算法
这道题属于衰分章后半的"非衰分类"问题——刘徽把它归入今有术：一斤价钱是"所有率"，一斤丝是"所求率"，今有钱数一千三百二十八是"所有数"。
术文只有三句，却把比例分配的核心程序说尽了：
"以一斤价数为法"——把单价二百四十作为除数。法，是"标准量"。
"以一斤乘今有钱数为实"——这里"一斤"是单位率，乘钱数得实。注意这里的乘法在现代看来有点怪：我们通常直接用 1328÷240，古人却要先乘一个"1"再除。这是因为在今有术的框架里，"所求率"必须显式出现——所求是丝，丝的单位是斤，所以要让"一斤"参与运算。
"实如法得丝数"——实除以法，得到丝数。
现代数学视角
第一步：先算总斤数
第二步：三级单位依次拆解
汉代的衡制是非十进制的，这是本题的"题眼"：
整数部分是 5 斤，剩下 斤要化成两：
再取整数部分 8 两，剩下的 两化成铢：
所以正确结果是：
即古书所说的"五斤八两一十二铢、五分铢之四"。
一处值得玩味的文本考据
很多通行本（包括维基文库所据的四库本系统）在这里写作"三分铢之四"。但从数学上看：
- 若铢数是 ，则反推两的分数部分是 ，进而反推斤的分数部分是 ——这与 毫不相干；
- 而若铢数是 ，则两的分数部分是 ，斤的分数部分是 ——但我们需要的是 ，仍然对不上。
问题出在上面第二步的"取整"上。正确的拆法是： 斤 两 两 又 两， 两 铢 铢 又 铢。每一步都是"乘进位率后取整、余数继续降级"，而不是把总余数一路乘到底。
上海古籍出版社白尚恕《九章筭术译注》此处正作"五分铢之四"，识典古籍整理本同。数学验算与两个可靠底本三方一致，可以断定"三分"是传抄过程中"五""三"形近而讹。
这就是数学考据的力量：古算书的答案是可以被精确重算的，算不出来时不要怀疑古人的智慧，先怀疑文本。
高中课本关联
知识点定位：
- 人教A版必修第一册：分数运算与数系的扩充（把非十进制单位换算理解为不同进制的换算）
- 初中数学：单位换算与多元一次比例
高考考法：
近年高考数学文化题常以《九章算术》为背景，考法集中在两类：一是"读出古文中的数量关系并建模"，二是"按照古法重算并验证"。本题的难点在于单位进制：、，与日常十进制经验冲突，是最容易失分的地方。
解题关键： 先把所有量统一到最小单位铢，或统一到最大单位斤，二者必居其一；切忌在"两""铢"之间来回跳。
思考与拓展
1. 换个数字自己算一遍 若丝价改为每斤三百钱，钱数仍为一千三百二十八，请照古术拆解到铢。答案是不是整数？如果不是，最简分数是多少？
2. 单位换算的"陷阱" 如果把 直接乘 ，会得到 铢 铢，这与正确结果 铢一致。为什么"一次乘到底"和"分级取整"结果相同？请用分配律解释。
3. 校勘的思路 本题中我们靠"精确重算"发现文本有误。如果一道古算题的答曰是个很整齐的整数，反而无从校验，那你觉得还有哪些方法可以判断它是否传抄有误？
一句话总结
1328 钱买丝，古人用"实如法"一步除出 5 又 8/15 斤，再用 16 与 24 两级进制拆成 5 斤 8 两 12 又 4/5 铢——顺便还帮我们校出一个传抄千年的"三""五"之讹。