反其率：一道账目对不上的羽毛账——学会质疑经典

原典

今有出钱六百一十，买羽二千一百翭。欲其贵贱率之，问：各几何？

答曰：其一千一百四十翭，三翭一钱。其九百六十翭，四翭一钱。

术曰（其率术）：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法贱实贵。

白话翻译

有人出钱买了若干羽毛，要求按贵贱两种价格分开核算。题目说一共出了 610 文，买了 2100 翭；答曰给出两种羽毛的数量：贵的 1140 翭（每 3 翭值 1 文）、贱的 960 翭（每 4 翭值 1 文）。

示意图

贵羽 1140 翭按 3翭/钱计价，贱羽 960 翭按 4翭/钱计价——但总价对不上题面

数学解读

一、先把答曰验一遍

最简单的检验：把答曰代入题意，看总钱数是否等于题面给定的 610 文。

贵羽 $1140$ 翭，每 $3$ 翭 $1$ 钱：花费

贱羽 $960$ 翭，每 $4$ 翭 $1$ 钱：花费

合计 $380 + 240 = 620$ 文。

答案对不上题面——题面写"六百一十"，验算是"六百二十"，差了 10 文。

二、传本矛盾：一百二十六、一百二十五、一百二十……

这种情况在《九章算术》里并不罕见。上面 094 至 097 连续四道商贾买卖题（丝价、布价）都有同一类问题：题面的"单价"和答曰反推的单价不一致。这道 83 题也不例外。

如果把题面改成"六百二十"文，一切都对得上。而且按反其率术也能精确算出：

完全吻合。

那问题来了：传本为什么写成"六百一十"？一种可能是抄写时"六十二"倒成了"六一十"；另一种可能是不同版本间存在细微差异。无论是哪种，我们都要诚实面对：答案是对的，题面的"六百一十"很可能是个抄错的数字。

三、反其率术的本质

不管数字对错，这道题用到的算法叫"反其率术"，出自《九章算术》粟米章第 43 题的术文。它的核心思想是：当已知总价少而总量多（钱不够买平均价），用"反减"把多出的部分分离出来，再按贵贱两率分配。具体步骤：

第一步：总量 ÷ 总价，得商（这里是贵率 3）、余数（这里是 240）。
第二步：总价 − 余数 = 少的那一份钱（620 − 240 = 380）。
第三步：少份 × 贵率 = 贵羽数（380 × 3 = 1140）；多份 × 贱率 = 贱羽数（240 × 4 = 960）。

古人用一次除法、一次减法就同时求出两个未知量，比今天的假设法、方程组更简洁。

四、中西比较

这类"按比例分配"问题在西方也有类似处理：阿基米德《数沙者》里有类似的混合比率问题；欧洲中世纪"三率法"（Rule of Three）只处理单次比例，遇到两个比例叠加就陷入困境。中国古算经之所以能直接用一套算法处理，关键在"率"的观念——不把"每单位多少"与"每多少单位"看作对立的概念，而是统一的比值，这就让"反其率"成了可能。

高中课本关联

• 二元一次方程组（初中）：设贵羽花了 $x$ 钱、贱羽花了 $y$ 钱，则 $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=2100$，$x+y=620$（若按 620 算），解出 $x=380,\ y=240$。
• 数学建模与数据质疑：现实中拿到一组数据先代入检验，发现矛盾后再追溯原因——这与科学方法完全一致。
• 高考数学文化题常以古籍错题为背景，考查学生对古代文献的态度：既要尊重，也要敢于验证。

思考与拓展

1. 如果题面真的是 610 文（不是抄错了），按今有术能算出什么答案？这个答案与答曰有多大偏差？
2. 用现代方程组：设贵羽 $x$ 翭、贱羽 $y$ 翭，$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=610$，$x+y=2100$，解出结果并与答曰对比。
3. 除羽毛外，历史上还有哪些著名例子体现了"古籍传抄数字颠倒"的误读？试举一两例并说明对后世研究的影响。

一句话总结

古人留给我们的算题，有的题面可能抄错了；真正的传承不在于盲从答案，而在于学会用计算去检验它。