反其率术：价格颠倒的智慧——一道题里的两种单价

原典

今有出钱九百八十，买矢簳五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问：各几何？

答曰：其三百枚，五枚一钱；其五千五百二十枚，六枚一钱。

术曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法少实多。二物各以所得多少之数乘法实，即物数。

白话翻译

现在有人支出980钱，买了箭杆共5820枚。其中贵的和贱的要按不同的比率来折算——贵的每5枚值1钱，贱的每6枚值1钱。问：贵的、贱的各多少枚？

答：贵的300枚（按5枚1钱计价），贱的5520枚（按6枚1钱计价）。

反其率术的算法是：以总钱数 980 为"法"（除数），总箭数 5820 为"实"（被除数）。实除以法，每钱买 5 枚还余 920 枚的钱；再让"法"减去余数得 60。把这两个数分别乘上贵、贱两率，就是两种箭杆的数量（具体推演见"数学解读"）。

示意图

数学解读

一、问题结构与数学建模

这道题的核心是"两种单价混合购买"问题：

• 总支出：980钱
• 总数量：5820枚
• 贵价箭杆：每5枚1钱，即单价 $\dfrac{1}{5}$ 钱/枚
• 贱价箭杆：每6枚1钱，即单价 $\dfrac{1}{6}$ 钱/枚

设贵箭杆 $x$ 枚，贱箭杆 $y$ 枚，则：

$$\begin{cases} x + y = 5820 \\ \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{6} = 980 \end{cases}$$

二、现代解法（假设法）

第一步：假设全为贵价

若5820枚全按5枚1钱计算，需钱：

$$\dfrac{5820}{5} = 1164 \text{（钱）}$$

第二步：计算"盈余"

实际只花980钱，比假设少：

$$1164 - 980 = 184 \text{（钱）}$$

第三步：分析替换效果

每把1枚贵箭杆换成贱箭杆，价格变化：

$$\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{30} - \dfrac{6}{30} = -\dfrac{1}{30} \text{（钱）}$$

即每替换一枚，总价减少 $\dfrac{1}{30}$ 钱。

第四步：求贱箭杆数量

需替换的枚数（即贱箭杆数量）：

$$184 \div \dfrac{1}{30} = 184 \times 30 = 5520 \text{（枚）}$$

第五步：求贵箭杆数量

$$5820 - 5520 = 300 \text{（枚）}$$

验算：

• 贵箭杆花费：$300 \div 5 = 60$ 钱
• 贱箭杆花费：$5520 \div 6 = 920$ 钱
• 合计：$60 + 920 = 980$ 钱 ✓

三、古术解读——反其率术的四个动作

本题钱少物多（980 钱买 5820 枚，每钱不止买一枚），与通常"值钱多、物少"的方向相反，所以用专门的反其率术。把术文拆成四步：

第一步：实如法而一。 以钱数 980 为法（除数），箭数 5820 为实（被除数），相除：

$$5820 = 980\times 5 + 920$$

商 5、余 920。商 5 就是较贵那种箭"五枚一钱"的率。

第二步：不满法者，反以实减法。 余数 920 不满法 980，反过来用法减余：

$$980 - 920 = 60$$

于是得到两个数：少者 60、多者 920（二者之和恰为法 980）。

第三步：法少实多。 60 是"少"（钱数少的一份），920 是"多"。

第四步：二物各以所得多少之数乘法实，即物数。 少者乘贵率、多者乘贱率：

$$60\times 5 = 300\text{（枚，贵，五枚一钱）}$$ $$920\times 6 = 5520\text{（枚，贱，六枚一钱）}$$

这就是答曰的 300 枚与 5520 枚。

为什么少者反而乘贵率？因为贵率 5 < 贱率 6，同样的钱买贵物得的枚数少；少的钱份 60 对应贵物，多的钱份 920 对应贱物，配起来总枚数才恰好。本质上这就是"按比率分配（衰分）"，古人用一次除法和一次"反减"就把两个未知量都求了出来，和今天的假设法、方程组同源。

四、古今对照验证

方法	贵箭杆（枚）	贱箭杆（枚）	验算
现代方程组	300	5520	$300/5 + 5520/6 = 60 + 920 = 980$ ✓
假设法	300	5520	同上 ✓
古术答曰	三百枚	五千五百二十枚	完全一致

五、中西比较

这类"双单价混合"问题在世界数学史中多有出现：

• 古埃及（约公元前1650年，《莱因德纸草书》）有类似的"混合谷物"问题，采用"假设法"（假令法）求解。
• 古希腊（公元3世纪，丢番图《算术》）用代数方法处理类似问题，但符号体系更抽象。
• 古中国的"反其率术"本质上是按比率分配的算法，与古埃及的"假设法"殊途同归，而"率"的概念使它处理得尤其凝练。

值得注意的是，中国古代数学在比率运算上形成了独特的"率"理论体系，将正比例、反比例、复比例统一在同一框架下，这在同时代世界数学中是相当先进的。

高中课本关联

知识点定位：

1. 人教A版必修第一册：第二章"一元二次方程、函数与不等式"中的方程组思想
2. 人教A版选择性必修第三册：第六章"计数原理"中的分类加法原理
3. 人教B版必修第二册：第四章"指数函数、对数函数与幂函数"中的比例关系

高考考法链接：

这类问题在高考中常以"数学文化"题的形式出现，考查：

• 数学建模能力：将实际问题转化为方程（组）
• 数学运算能力：准确进行分数运算
• 逻辑推理能力：理解"假设法"的推理过程

典型高考真题示例：

2020年全国卷Ⅰ理科第3题（埃及胡夫金字塔问题）、2019年全国卷Ⅱ理科第4题（嫦娥四号问题）等都体现了对古代数学问题的现代解读能力考查。

解题关键：

• 识别"两种单价"的混合结构
• 建立方程组或使用假设法
• 注意单位换算（"每钱几枚"与"每枚几钱"的转换）

思考与拓展

问题1（基础）： 今有出钱一百二十，买丝三十斤。欲以精、粗率之，精丝每斤五钱，粗丝每斤三钱。问：精、粗丝各多少斤？

提示： 用假设法，先假设全为精丝，再计算差值。

问题2（进阶）： 今有出钱一千，买漆若干斤。漆有上、中、下三等，上等每斤八钱，中等每斤六钱，下等每斤四钱。已知上等斤数是中等的2倍，且三等共买150斤。问：各等若干斤？

提示： 需建立三元方程组，设上等 $2k$ 斤，中等 $k$ 斤，下等 $150-3k$ 斤。

问题3（拓展）： "反其率术"中，"率"的颠倒（每钱几枚 vs 每枚几钱）在数学上对应什么关系？若推广到三种以上单价混合，假设法是否仍然适用？请说明理由。

提示： 思考"率"的倒数关系；多单价混合时，需要更多的独立方程。

一句话总结

"反其率术"展现了古人处理双单价混合问题的智慧——先除得贵率、反减分出多寡，再各乘其率，一次除法配一次减法就求出两个未知量，这种"正难则反、倒过来分配"的思想至今仍是重要的解题策略。