术名：粟米·第44题——双价均摊，今有术的巧妙运用

原文

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢率之，问：各几何？

答曰：其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱。其一石一钧七斤一十二两一十八铢，六铢一钱。

术文：今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

白话翻译

现在支出13970钱，买了1石2钧28斤3两5铢的丝。想把这批丝按贵贱两种价格分开来算，贵的每5铢卖1钱，贱的每6铢卖1钱，问：两种丝各有多少？

答：其中一种（贵价）是1钧20斤6两11铢，每5铢值1钱；另一种（贱价）是1石1钧7斤12两18铢，每6铢值1钱。

示意图

数学解读

一、单位换算：统一到"铢"

古代衡制关系：

• 1石 = 4钧 = 120斤
• 1钧 = 30斤
• 1斤 = 16两
• 1两 = 24铢

总丝量换算：

$$1\text{石}2\text{钧}28\text{斤}3\text{两}5\text{铢}$$ $$= 120\text{斤} + 60\text{斤} + 28\text{斤} + 3\text{两} + 5\text{铢}$$ $$= 208\text{斤} + 3\text{两} + 5\text{铢}$$ $$= 208 \times 16\text{两} + 3\text{两} + 5\text{铢} = 3331\text{两} + 5\text{铢}$$ $$= 3331 \times 24\text{铢} + 5\text{铢} = 79944\text{铢} + 5\text{铢} = 79949\text{铢}$$

二、问题建模：鸡兔同笼的"今有术"视角

设贵价丝（5铢1钱）有 $x$ 铢，贱价丝（6铢1钱）有 $y$ 铢。

根据题意列方程组：

$$\begin{cases} x + y = 79949 & \text{(总铢数)} \\ \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{6} = 13970 & \text{(总钱数)} \end{cases}$$

三、古法推演：盈不足术的思路

《九章算术》粟米章此题，实际上可用盈不足术或方程术求解。我们用现代方法演示：

由第一式：$y = 79949 - x$

代入第二式：

$$\frac{x}{5} + \frac{79949 - x}{6} = 13970$$

通分（公分母30）：

$$\frac{6x}{30} + \frac{5(79949 - x)}{30} = 13970$$ $$6x + 399745 - 5x = 419100$$ $$x = 419100 - 399745 = 19355$$

因此：

$$y = 79949 - 19355 = 60594$$

四、答案还原：铢→石钧斤两铢

贵价丝：19355铢

$$19355 \div 24 = 806\text{两} \cdots \text{余} 11\text{铢}$$ $$806 \div 16 = 50\text{斤} \cdots \text{余} 6\text{两}$$ $$50 \div 30 = 1\text{钧} \cdots \text{余} 20\text{斤}$$

所以：1钧20斤6两11铢 ✓

贱价丝：60594铢

$$60594 \div 24 = 2524\text{两} \cdots \text{余} 18\text{铢}$$ $$2524 \div 16 = 157\text{斤} \cdots \text{余} 12\text{两}$$ $$157 = 120 + 30 + 7 = 1\text{石}1\text{钧}7\text{斤}$$

所以：1石1钧7斤12两18铢 ✓

五、验证核验

钱数验证：

贵价丝：$19355 \div 5 = 3871$ 钱

贱价丝：$60594 \div 6 = 10099$ 钱

合计：$3871 + 10099 = 13970$ 钱 ✓

铢数验证：

$19355 + 60594 = 79949$ 铢 ✓

六、中西比较：比例分配的古今对话

本题的核心是加权平均的逆问题。已知总量、总价值和两种单价，反求各自的量。

这与古希腊丢番图（约3世纪）的代数方法有异曲同工之妙，但《九章算术》的今有术体系更早（约公元前1世纪已成书）。

在西方，类似的"混合问题"（alligation）在中世纪商业算术中广泛出现，如意大利数学家斐波那契《计算之书》（1202年）中就有大量例题。而《九章算术》粟米章在公元前就已系统处理此类问题，展现了中华数学在实用算术领域的早熟。

高中课本关联

知识点对接：

1. 方程组求解（人教A版必修第一册）：本题本质是二元一次方程组的建立与求解，是高中"函数与方程"单元的典型应用题。

2. 算法与程序框图（必修第三册）：古代"今有术"的算法步骤，可视为最早的程序化计算思想，与现代算法概念高度契合。

3. 数学文化渗透：近年高考频繁以《九章算术》为背景命题，如2015年全国卷、2020年新高考卷均有涉及。

高考考法示例：

改编自《九章算术》的试题常给出古文背景，要求学生：

• 正确翻译题意
• 建立方程或比例模型
• 求解并还原为古代单位
• 注意单位换算的准确性

思考与拓展

练习1： 若将本题改为"欲其贵贱率之，以斤计"，即贵价丝每斤 $a$ 钱，贱价丝每斤 $b$ 钱，请建立通用公式，并说明单位选择对计算复杂度的影响。

练习2： 本题若用盈不足术（假设法）求解，假设全部按5铢1钱计算，总钱数会多出多少？由此如何推导出两种丝各自的量？请完整写出盈不足术的演算过程。

练习3： 查阅资料，比较《九章算术》粟米章"今有术"与《几何原本》卷V中比例论的异同，从定义方式、应用范围、逻辑体系三个角度各举一例说明。

一句话总结

本题以丝价为载体，将"今有术"的比例思想与盈不足术的假设策略熔于一炉，展示了中国古代数学在商业应用中的精密与灵活——一万多钱、八万铢丝，在古人笔下被精确分配到铢两之间。