术名：粟米·第39题——丝分贵贱，斤率各几何？

原文

今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之，问：各几何？

答曰：其二钧八斤，斤五钱。其一石一十斤，斤六钱。

术文：（今有术，本章通术）今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

白话翻译

现在有一共1120钱，买了1石2钧18斤的丝。想把这批丝按贵贱两种价格分，贵丝每斤6钱、贱丝每斤5钱，问贵丝和贱丝各有多少斤？

答：贱丝有2钧8斤（即68斤），每斤5钱；贵丝有1石10斤（即130斤），每斤6钱。

示意图

数学解读

一、梳理题意与单位换算

本题涉及秦汉衡制，需先统一单位：

• 衡制换算：$1\text{石}=4\text{钧}$，$1\text{钧}=30\text{斤}$，故 $1\text{石}=120\text{斤}$
• 总重量：$1\text{石}\,2\text{钧}\,18\text{斤}=120+60+18=198\text{斤}$
• 总钱数：$1120\text{钱}$
• 价格设定：贵丝 $6\text{钱/斤}$，贱丝 $5\text{钱/斤}$

二、现代解法：方程法

设贱丝重 $x$ 斤，贵丝重 $y$ 斤，列方程组：

$$\begin{cases} x + y = 198 \\ 5x + 6y = 1120 \end{cases}$$

由第一式得 $x = 198 - y$，代入第二式：

$$5(198 - y) + 6y = 1120$$ $$990 - 5y + 6y = 1120$$ $$y = 130$$

则 $x = 198 - 130 = 68$

验证：

• 贱丝：$68 \times 5 = 340$ 钱
• 贵丝：$130 \times 6 = 780$ 钱
• 合计：$340 + 780 = 1120$ 钱 ✓

三、现代解法：鸡兔同笼（假设法）

假设198斤全是贱丝（5钱/斤），则总价应为 $198 \times 5 = 990$ 钱。

实际多出差额：$1120 - 990 = 130$ 钱。

每把1斤贱丝换成贵丝，多收 $6 - 5 = 1$ 钱。

故贵丝重 $130 \div 1 = 130$ 斤，贱丝重 $198 - 130 = 68$ 斤。

四、古术解读：今有术

"今有术"是《九章》粟米章的核心算法，本质是比例分配。术文逐句解析：

"以所有数乘所求率为实"

"所有数"指已知总数（本题中可理解为某部分的钱数或相关量），"所求率"指与该部分对应的单位率。相乘得"实"（被除数）。

"以所有率为法"

"所有率"指总量对应的总率，作为"法"（除数）。

"实如法而一"

用实除以法，得到所求。

本题若用今有术直接求贵丝重量，可这样理解：

设贵丝总钱为 $A$，则 $A = 130 \times 6 = 780$ 钱。

若已知贵丝钱数780钱，求其重量：

$$\text{贵丝斤数} = \frac{780 \times 1}{6} = 130\text{斤}$$

其中"所有数"=780钱，"所求率"=1斤/钱（单位换算率），"所有率"=6钱/斤。

$$\text{实} = 780 \times 1 = 780, \quad \text{法} = 6$$ $$\text{实如法而一} = \frac{780}{6} = 130$$

五、古今对照验证

验证项	计算过程	结果
总重	$120 + 60 + 18$	198斤 ✓
贱丝钱	$68 \times 5$	340钱
贵丝钱	$130 \times 6$	780钱
总钱	$340 + 780$	1120钱 ✓
贱丝	$2\text{钧}\,8\text{斤}=60+8$	68斤 ✓
贵丝	$1\text{石}\,10\text{斤}=120+10$	130斤 ✓

答案完全吻合：贱丝二钧八斤（68斤），斤五钱；贵丝一石一十斤（130斤），斤六钱。

六、背景与中西比较

本题属于"按价分配"问题，与《九章》粟米章其他题目一脉相承。今有术在结构上等同于加权平均的逆运算。

西方类似问题见于斐波那契《计算之书》（1202年）中的"混合法则"（Regula del Mixti），比《九章》晚了约一千年。中国古代数学对比例问题的系统化处理，体现了算法化、程序化的鲜明特色。

高中课本关联

知识点：

• 人教A版必修第一册：方程组的解法、二元一次方程组应用
• 人教A版必修第二册：统计中的加权平均数

高考考法：

1. 方程建模：将实际问题抽象为方程组，考查建模能力
2. 鸡兔同笼类问题：以"假设法"或"抬脚法"考查逻辑推理
3. 传统文化背景题：近年高考常以《九章》原文为素材，要求提取数量关系并求解

典型变式：已知总价、总重、两种单价，求各自重量——本质是加权平均的逆用，即已知加权平均值反求各部分权重。

思考与拓展

基础题：今有出钱960，买丝1石1钧12斤。欲其贵贱斤率之，贵者斤7钱、贱者斤4钱。问贵贱各几何？

提示：总重 $=120+30+12=162$ 斤。设贵丝 $x$ 斤，则 $7x + 4(162-x) = 960$，解得 $x = \frac{312}{3} = 104$ 斤，贱丝58斤。

进阶题：今有出钱2000，买丝2石3钧。贵者斤8钱，贱者斤5钱，且贵丝重量是贱丝的2倍。问贵贱各几何？

提示：设贱丝 $x$ 斤，贵丝 $2x$ 斤，则 $3x = 2 \times 120 + 3 \times 30 = 330$，得 $x = 110$，贵丝220斤。验证：$220 \times 8 + 110 \times 5 = 1760 + 550 = 2310 \neq 2000$，说明题目数据需调整。若改为"贵者斤6钱、贱者斤4钱"，则 $220 \times 6 + 110 \times 4 = 1320 + 440 = 1760$，仍不符。此题设计需谨慎。

挑战题：将本题推广到 $n$ 种价格的情形。设有 $n$ 种丝，单价分别为 $p_1, p_2, \ldots, p_n$ 钱/斤，总重 $W$，总价 $M$，且已知其中 $n-1$ 种的重量。设计算法求第 $n$ 种的重量。

提示：先算出已知部分的总钱数，剩余钱数除以第 $n$ 种单价即得。

一句话总结

粟米第39题以"今有术"为纲，通过总重与总价反推贵贱各几何，是二元一次方程组的经典古法原型——古人以比例驭繁，今人以方程求解，殊途同归。